Über die Existenz von Eigenfunktionen einer reellen Variabeln bei linearen homogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Randbedingungen mit komplexen Koeffizienten; Entwickelung willkürlicher Funktionen und Anwendung auf partielle Differentialgleichungen. (Q1830995)

Es handelt sich um Randwertaufgaben für die Differentialgleichung \[ \dfrac{d^2u}{dx^2} + (\lambda - L(x)) u = 0. \tag{1} \] Dabei bedeutet \(L(x)\) eine komplexwertig gegebene Funktion der reellen Veränderlichen \(x\) (\(0\leqq x\leqq a\)), und \(\lambda\) einen komplexen Parameter. Wenn auch nicht alle Ergebnisse der vorliegenden Arbeit neu sind, so sind sie doch zum erstenmal systematisch mit lückenlosen Beweisen dargestellt. Im ersten Abschnitt werden die Randwerte \[ u(0) = u(a), \quad u'(0) = u'(a) \tag{2} \] betrachtet. Zum Beweis der Existenz von unendlich vielen Eigenwerten wird so vorgegangen: Es bedeute \(u_1, u_2\) ein Fundamentalsystem von (1) mit den Anfangswerten \[ u_1(0) = u_2'(0)=1, \quad u_2(0) = u_1'(0)=0. \] Wird \[ u = c_1u_1 + c_2u_2 \] gesetzt, so ist für das Vorhandensein eines Eigenwertes notwendig und hinreichend das verschwinden der Determinante \[ \Delta = \left|\begin{matrix} \l & \l \\ u_1'(a) & u_2'(a) -1 \\ u_1(a)-1\quad & u_2(a) \end{matrix} \right|. \] Auf Grund der asymptotischen Darstellung von \(u_1\) und \(u_2\) wird ein asymptotischer Ausdruck für \(\Delta\) gewonnen, aus dem die Existenz unendlich vieler Nullstellen von \(\Delta\) gefolgert wird, die jedoch auch doppelt sein können; in diesem Falle ist der zugehörige Eigenwert doppelt. Um zu den Entwicklungssätzen zu gelangen, benutzt Verf. das ``Konturintegral'' \[ I_n = \dfrac{-1}{2\pi i}\int\limits_{K_n}d\lambda\int\limits_0^aG(x,s;\lambda )f(s)ds. \] Darin ist der Integrationsweg ein Kreis in der \(\lambda\)-Ebene um den Nullpunkt mit dem Radius \(\dfrac{2(n+\frac{1}{2})\pi}{a}, G(x, s; \lambda )\) die \textit{Green}sche Funktion von (1) bei der Randbedingung (2), und \(f(x)\) eine Funktion, die sich aus Stücken der Form \[ C_k + \int\limits_{x_k}^x\varphi_k (\xi )d\xi, \;x_k\leqq x\leqq x_{k+1}, \;0=x_0<x_1<\cdots <x_{m-1} = a \] zusammensetzt, wobei \(\varphi_k(x)\) in \(\langle x_k, x_{k+1}\rangle\) nach \textit{Lebesgue} integrabel ist. Wird für die \textit{Green}sche Funktion \(G(x, s; \lambda )\) die von \textit{Westfall} (Dissertation Göttingen 1906; F. d. M. 37, 363) angegebene Determinantenform benutzt, so ergibt sich, daß sie an den Eigenwerten \(\lambda_n\) einfache Pole besitzt, deren Residuen sich als lineare Aggregate von Eigenfunktionen \(\varphi_n(x)\) ergeben. Weiter folgt \[ \lim_{n\to\infty} I_n =\frac{1}{2}[f(x-0) + f(x+0)] \] und in den Randpunkten \(x = 0\) und \(x = a\) \[ \lim_{n\to\infty} I_n =\frac{1}{2}[f(0) + f(a)]. \] Faßt man diese Ergebnisse zusammen, so ergibt sich der Entwickelungssatz für die eben gekennzeichneten Funktionen \(f(x)\): \[ \tfrac{1}{2}(f(x+0) - f(x-0)) = \sum\limits_{n=1}^\infty \varphi_n(x)\int\limits_0^a f(s)\varphi_n(s)ds. \tag{3} \] Speziell \(f(x) = G(x, t; \mu )\) liefert die Bilinearreihe \[ G(x, t; \mu ) = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\varphi_n(x)\varphi_n(t)}{\lambda_n-\mu}. \] Durch Vergleichen mit der zu \[ \dfrac{d^2w}{dx^2} +\lambda w = 0 \] gehörigen \textit{Green}schen Funktion kann das Auftreten des \textit{Gibbs}schen Höckers nachgewiesen werden. Weiter werden Kriterien für gleichmäßige Konvergenz angegeben. Ist \(L(x)\) reell, so konvergiert (3) absolut. Wird von \(L(x)\) die Gestalt \[ L(x) = L(0) + \int\limits_0^x \varphi (\xi ) d\xi \qquad (\varphi \text{ summabel}), \quad L(0) = L(a), \] vorausgesetzt und die Stetigkeit von \(f'\) verlangt sowie für \(f''\) die Form \[ f''(x) = f''(0) + \int\limits_0^xf'''(\xi )d\xi \quad (f''' \text{ summabel}) \] angenommen, und ist weiter \[ f(0) = f(a), \;f'(0) = f'(a), \;f''(0) = f''(a), \] so darf (3) zweimal gliedweise differenziert worden. Die Ergebnisse werden jetzt auf die partielle Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial^2u}{dt^2} + k\dfrac{\partial^2u}{dx^2} + (p(t) + kq(x)) n = 0 \tag{4} \] (\(k\) komplexe Konstante, \(p(t)\), \(q(x)\) stetige komplexwertige Funktionen, \(q(0) = q(a)\)) angewendet. Zunächst ergibt sich, daß eine den Bedingungen \[ U(t,0) = U(t,a), \;\dfrac{\partial U(t,0)}{\partial x}=\dfrac{\partial U(t,a)}{\partial x}, \;\dfrac{\partial^2 U(t,0)}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2 U(t,a)}{\partial x^2} \] genügende, zweimal stetig differenzierbare Lösung, mit stückweise stetigen Ableitungen dritter Ordnung nach beiden Variablen, auf Grund des Entwicklungssatzes in der Form \[ U(t,x) = \sum\limits_{n=1}^\infty\psi_n(t)\varphi_n(x) \] geschrieben werden kann, wobei die \(\varphi _n(x)\) die Eigenfunktionen von \[ \varphi^{\prime\prime}_n(x) + (\lambda_n + q(x))\varphi_n(x) = 0, \quad \varphi_n(0) = \varphi_n(a), \;\varphi_n'(0) = \varphi_n'(a) \tag{5} \] bedeuten, und die \(\psi_n(x)\) den Gleichungen \[ \psi^{\prime\prime}_n(t) + (-k\lambda_n + p(x))\psi_n(t) = 0 \tag{6} \] genügen. Sodann wird die Anfangswertaufgabe für (4), jedoch mit \(\varkappa > 0\), \(q\) reell stetig, \(q', q''\) stückweise stetig behandelt: \[ U(t_0,x) = F(x), \;\dfrac{\partial U(t_0,x)}{\partial t}=G(x) \] (\(F', F'', G'\) stetig; \(F'''\), \(F^{(4)}\), \(G''\) stückweise stetig; \(F^{(\nu )}(0) = F^{(\nu )}(a)\) (\(\nu = 0, 1, 2\)); \(G^{(\nu )}(0) = G^{(\nu )}(a)\) (\(\nu = 0,1\))). Ist \(\varphi_n(x)\) durch (5) erklärt, und ist \(\psi_{1n}\), \(\psi_{2n}\) ein Fundamentalsystem von (6) mit den Anfangswerten \[ \psi_{1n}(t_0) = \psi_{2n}'(t_0) = 1, \quad \psi_{1n}'(t_0) = \psi_{2n}(t_0) = 0, \] so findet sich \[ U(t,x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \left[A_n\psi_{1n}(t) + B_n\psi_{2n}(t)\right] \varphi_n (x), \] wobei \(A_n\) und \(B_n\) die \textit{Fourier}koeffizienten von \(F\) bzw. \(G\) in bezug auf die \(\varphi_n\) sind. Beweismittel: Separierung und Entwicklungssätze für die abgeleiteten Reihen. Schließlich folgt ähnlich für die Gleichung \[ \dfrac{\partial u}{\partial t} = r^2\left( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + q(x)u\right) \] (Wärmeleitung im inhomogenen Ring, \(q(x)\) reell stetig, \(q(0) = q(a)\)): Die Lösung der Aufgabe \(U(0, x) = F(x)\) (\(F(x)\) stetig, \(F'(x)\) stückweise stetig, \(F(0) = F(a)\)) wird durch \[ U(x,t) = \sum\limits_{n=1}^\infty\varphi_n(x)e^{-\lambda_nr^2t} \int\limits_0^a F(\alpha )\varphi_n(\alpha )d\alpha \] geliefert, wo \(\lambda_n\) \(\varphi_n(x)\) durch (5) erklärt sind. Der zweite Abschnitt der Arbeit behandelt die Gleichung (1) bei den Randbedingungen \[ \begin{aligned} &a_1u(0) + a_2u'(0) + a_3u(a) + a_4u'(a) = 0, \\ &b_1u(0) + b_2u'(0) + b_3u(a) + b_4u'(a) = 0, \tag{7} \\ &\Delta_{12}= a_1b_2 - a_2b_1 = \Delta_{34} = a_3b_4-a_4b_3, \;\Delta_{24} = a_2b_4 - a_4b_2\neq 0. \end{aligned} \] Beweismethoden und Ergebnisse sind mit geringen Modifikationen dieselben. Zum Beispiel gibt es nur eine endliche Anzahl von doppelten Nullstellen von \(\Delta\). Bei der Anwendung auf die partielle Differentialgleichung (4) müssen die Funktionen \(F(x)\) und \(G(x)\) jetzt natürlich den Randbedingungen (7) genügen. Im dritten Abschnitt werden dieselben Randbedingungen wie eben untersucht, jedoch mit \(\Delta_{24} = 0\). Hier sind verschiedene Fallunterscheidungen vorzunehmen. Insbesondere sind die Fälle, ob \(b_1a_4+a_2b_3\) verschwindet oder nicht, getrennt zu behandeln. Im übrigen bleiben die Ergebnisse wesentlich dieselben. Zum Schluß wird die allgemeinere Differentialgleichung \[ y'' + p_1(x)y' + (\lambda p_2(x) + p_3(x))y = 0 \qquad (0\leqq x\leqq a) \] betrachtet. Diese kann durch bekannte Transformationen auf (1) zurückgeführt werden. Es werden Bedingungen für die Koeffizienten angegeben dafür, daß die neue Veränderliche, in welche \(x\) übergeht, wieder reell ist, in welchem Fall die vorangehenden Resultate übertragen werden können. (IV 13.)