Sur l'intégration approchée des équations différentielles linéaires. (Q1831005)

Verf. approximiert die Lösung einer linearen Differentialgleichung \[ L(y) = y^{(k)} + A_1(x)y^{(k-1)} +\cdots + A_k(x)y = f(x) \] (\(A_\varkappa (x)\) stetig) bei einer linearen homogenen Randbedingung im Intervall \(\langle 0,1\rangle\), bzw. bei der Forderung der Periodizität, nach folgendem Verfahren: \[ \varphi_1(x), \varphi_2(x), \varphi_3(x),\ldots \] sei ein im Intervall \(\langle 0,1\rangle\) vollständiges Funktionensystem, welches der Randbedingung genügt bzw. periodisch ist. Die Näherungslösungen sind \[ y_m(x) = a_1\varphi_1(x) + a_2\varphi_2(x) + \cdots + a_m\varphi_m(x), \] wobei die Koeffizienten \(a_\mu\) aus den Gleichungen \[ \int\limits_0^1\left[L(y_m)-f\right]\varphi_i(x)dx = 0 \] bestimmt werden (beste Approximation im Mittel). Die Ableitungen der Differenzen der wirklichen Lösung \(y\) und der Näherungslösungen \(y_m\), also \[ y^{(\varrho )} - y_m^{(\varrho )} \qquad (\varrho = 0,1,2,\ldots, k-1) \] sind alsdann unter const \(\cdot\left(\int\limits_0^1\gamma_m^2dx\right)^2\) gelegen, wobei \(\gamma_m\) die \(m\)-te Partialsumme der Entwicklung von \(\dfrac{\partial^\varrho\varGamma (x,\xi )}{\partial x^\varrho}\) bedeutet; unter \(\varGamma (x,\xi )\) ist dabei die zur Randbedingung gehörige \textit{Green}sche Funktion verstanden. Zur Untersuchung der Güte der Konvergenz ist also erforderlich, festzustellen, wie gut und ob \(\int\limits_0^1\gamma_m^2dx\) eventuell gleichmäßig gegen Null konvergiert. Aber gerade auf diese Frage geht Verf. nicht ein.