Formal theory of irregular linear difference equations. (Q1831014)

Die vorliegende Arbeit bildet einen bemerkenswerten Beitrag zur formalen Theorie der linearen Differenzengleichungen und vervollständigt frühere Untersuchungen von Verf., \textit{N. E. Nörlund} und \textit{C. R. Adams}. Verf. betrachtet eine Gleichung \[ \sum\limits_{\nu = 0}^n a_\nu (x)y(x+n-\nu ) = 0, \tag{1} \] in der die Koeffizienten \(a_\nu (x)\) formale (d. h. konvergente oder divergente) Potenzreihen in absteigenden ganzen Potenzen von \(x^\frac{1}{p}\) (\(p = \) positive ganze Zahl) sind, die nur endlich viele positive ganze Potenzen enthalten, und weder \(a_0(x)\) noch \(a_n(x)\) identisch verschwindet. Bereits bekannte formale Lösungen von (1) sind von dem Typ \[ y(x) = x^\tfrac{mx}{lp}e^{P(x)}x^r\sum\limits_{\nu = 0}^\infty c_\nu x^{-\tfrac{\nu}{lp}}; \tag{2} \] dabei sind \(l\) und \(m\) teilerfremde ganze Zahlen, \(l\) positiv, und es ist \[ P(x) = \sum\limits_{\nu = 1}^{lp}\gamma_\nu x^\tfrac{\nu}{lp}. \] In dem einfachsten Fall, dem der formalen Lösungen von ``normalem Typus'', ist \(l = 1\); in dem allgemeinen Fall ist die formale Lösung (2) von ``anormalem Typus'' und läßt, als Funktion der komplexen Veränderlichen \(x^\frac{1}{p}\), genau \(l\) von einander verschiedene Bestimmungen zu. Zu den obigen formalen Lösungen (2) fügt Verf. Familien von formalen Lösungen des Typus \[ s(x), \;ks(x)\log x + t(x),\ldots, s(x)(\log x)^k + t(x)(\log x)^{k-1} + \cdots + w(x) \tag{3} \] hinzu; dabei sind \(s(x), t(x),\ldots, w(x)\) formale Reihen der Form (2), die alle mit denselben Werten \(l\) und \(m\), mit demselben \(P(x)\) und mit Werten von \(r\) gebildet werden, die sich höchstens um Vielfache von \(\tfrac{1}{lp}\) voneinander unterscheiden. Der in der vorliegenden Arbeit bewiesene Hauptsatz besagt, daß -- wenn die verschiedenen Bestimmungen der formalen Reihen richtig gezählt werden -- die Gleichung (1) genau \(n\) linear unabhängige formale Lösungen der Typen (2), (3) zuläßt. Der Beweis geht so vor, daß zunächst die Richtigkeit dieses Theorems gezeigt wird, wenn jede Gleichung (1) mindestens eine formale Lösung des nicht logarithmischen Typus (2) zuläßt, und dieses wird dann bewiesen durch eine Betrachtung ``reduzibler'' Gleichungen des Typus (1); das sind Gleichungen, bei denen die linke Seite sich als symbolisches Produkt zweier Differenzausdrücke desselben Typus, aber von Ordnungen kleiner als \(n\) ausdrücken läßt.