Sur la transformation et l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes par l'usage explicite des caractéristiques d'Ampère. (Q1831043)

Als zu der Differentialgleichung \(r = f(x, y, z, p, q, s, t)\) zugeordnetes Normalsystem bezeichnet der Verf. das System \[ \begin{matrix} \l & \l \quad & \l & \l \\ & \dfrac{\partial y}{\partial \alpha}=m_1\dfrac{\partial x}{\partial \alpha}, & & \dfrac{\partial y}{\partial \beta}=m_2\dfrac{\partial x}{\partial \beta}, \\ \\ &\dfrac{\partial z}{\partial \alpha}=p\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} +q\dfrac{\partial y}{\partial \alpha}, & & \dfrac{\partial z}{\partial \beta}=p\dfrac{\partial x}{\partial \beta} +q\dfrac{\partial y}{\partial \beta}, \\ \\ &\dfrac{\partial p}{\partial \alpha}=f\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} +s\dfrac{\partial y}{\partial \alpha}, & & \dfrac{\partial p}{\partial \beta}=f\dfrac{\partial x}{\partial \beta} +s\dfrac{\partial y}{\partial \beta}, \\ \\ &\dfrac{\partial q}{\partial \alpha}=s\dfrac{\partial x}{\partial \alpha} +t\dfrac{\partial y}{\partial \alpha}, & & \dfrac{\partial q}{\partial \beta}=s\dfrac{\partial x}{\partial \beta} +t\dfrac{\partial y}{\partial \beta}, \\ \\ \dfrac{\partial s}{\partial \alpha}&+m_2\dfrac{\partial t}{\partial \alpha}=\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) \dfrac{\partial x}{\partial \alpha}, & \dfrac{\partial s}{\partial \beta}&+m_1\dfrac{\partial t}{\partial \beta} = \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\dfrac{\partial x}{\partial \beta}, \end{matrix} \tag{1} \] vermehrt um zwei Gleichungen, die die Integrabilitätsbedingungen von (1) darstellen. Dabei sind \(m_1\), \(m_2\) die Wurzeln der Gleichung \[ m^2+m\frac{\partial f}{\partial s}-\frac{\partial f}{\partial t}=0; \] ferner bleibt \(\alpha\) längs jeder Charakteristik des einen, \(\beta\) längs jeder Charakteristik des andern Systems konstant. Die Integration des Normalsystems liefert die Integralflächen der ursprünglichen Gleichung in Parameterform. Als Beispiele werden u. a. behandelt die Gleichung \(r=f(s,t)\) sowie die \textit{Monge-Ampère}sche Gleichung.