Sur quelques méthodes nouvelles dans le calcul des variations. (Q1831128)

Verf. untersucht nach den Methoden von \textit{Tonelli} das absolute Extremum von \[ I_C=\int\limits_a^b f(x,y,y')dx \] ohne die Annahme der Halbstetigkeit. Von der Funktion \(f\) wird neben zweimaliger Differenzierbarkeit vorausgesetzt, daß sie den Bedingungen genügt: \[ \begin{gathered} f (x, y, z)\geqq K|z|^{1+\delta}\qquad\qquad \text{(\(K\) und \(\delta\) positive Konstanten)}, \\ f(x,y,z)\leqq A(x,y)|z|^{1+\delta}+B(x,y),\quad |f'_y(x,y,z)|\leqq A(x,y) |z|^{1+\delta}+B(x, y), \end{gathered} \] wo \(A(x,y)\) und \(B(x,y)\) mit \(x\), \(y\) beschränkt sind. Dem Variationsproblem wird ein geeignet gewähltes anderes \[ J_C=\int\limits_a^b g(x,y,y')dx \] zugeordnet, für welches die Minimumsaufgabe bei festen Endpunkten stets lösbar ist. Wenn nun die ursprüngliche Aufgabe eine Lösung \(C_0\) hat, so ist sie unter den Lösungen von \(J_C=\text{Min}\) zu suchen, und es gilt \(I_{C_0}=J_{C_0}\), und umgekehrt. Weitere notwendige und hinreichende Bedingungen können aus \(g(x, y, z)\) angegeben werden. Endlich folgen Untersuchungen über Extremaloiden ; das sind Kurven, die fast überall der Gleichung \[ g_{y'}'(x, y_0(x),y_0'(x))-\int\limits_0^x g_y'(x,y_0(x),y_0'(x))dx= \text{const} \] genügen.