Om Sandsynligheden for at Afkommet uddør. (Q1831188)

Die Abhandlung enthält die Lösung der von dem verstorbenen dänischen Mathematiker \textit{Erlang} gestellte Aufgabe: \(a_n\) ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Person \(n\) Kinder bekommt, \(a_0 + a_1 + \cdots = 1 \); es ist die Wahrscheinlichkeit zu finden, daß sein Geschlecht ausstirbt. Die Wahrscheinlichkeit, daß die \(s\)-te Generation \(n\) Mitglieder hat, wird \(a_n^{(s)}\) genannt, \(a_n^{(1)} = a_n\). Es ist dann leicht ersichtlich: \[ \begin{gathered} a_r^{(s+1)}=\sum_{n=0}^\infty a_n^{(s)} \sum_\nu \frac{n!}{\nu_0!\,\nu_1!\ldots\nu_r!} a_0^{\nu_0}a_1^{\nu_1}\ldots a_r^{\nu_r}, \\ \nu_0+\nu_1+\cdots+\nu_r=n,\quad \nu_1+2\nu_2+\cdots+r\nu_r=r. \end{gathered} \] Man setze \[ \begin{aligned} f_s(x)&{}=a_0^{(s)} +a_1^{(s)}x + a_2^{(s)}x^2 +\cdots, \\ f_1(x)&{}=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots, \\ f_s(f(x))&{}= \sum_{n=0}^\infty a_n^{(s)} (a_0+a_1x+\cdots)^n \end{aligned} \] und findet dann: \[ a_r^{(s+1)} =\frac1{r!} D_{(x=0)}^r f_s(f(x)), \] also \[ f_s(f(x))=\sum_{r=0}^\infty a_r^{(s+1)}x^r\quad\text{oder}\quad f_s(f(x))=f_{s+1}(x),\quad a_n^{(s)}=\frac1{n!} f_s^{(n)}(0). \] Bei dem \textit{Erlang}schen Problem ist \(a_0^{(s)} = f_s(0) = x_s\); es ist dann \(x_{s+1} = f(x_s)\), d. h. \(x_s\) konvergiert gegen eine Wurzel der Gleichung \(x = f (x)\) (die Konvergenz ist leicht nachzuweisen); diese Wurzel ist eben die kleinste Wurzel dieser Gleichung zwischen \(a_0\) und 1.