The derivation of certain high order sampling product moments from a normal population. (Q1831212)

Nach einer Übersicht der Arbeiten von \textit{Thiele}, \textit{Tschuprow}, \textit{Church} und \textit{Craig} über die Momente von Momenten werden \textit{R. A. Fisher}s symmetrische Funktionen \(k_\nu\) behandelt, deren Mittelwerte, genommen über alle möglichen Auswahlen von der Größe \(n\), gleich den \(\nu\)-ten Semiinvarianten der zugrundeliegenden Population sind. Wenn \(m_\nu\) das \(\nu\)-te Moment der Auswahl, gerechnet von ihrem Mittelwert, ist, lauten die ersten drei Funktionen: \[ k_1 = m_1,\quad k_2 =\frac n{n-1}m_2,\quad k_3 = \frac{n^2}{(n-1)(n - 2)} m_3, \] Das Problem besteht darin, die zu den Mittelwerten von \(k_3^p k_2^q\), wobei \(p\) und \(q\) natürliche Zahlen sind, gehörigen Semiinvarianten \(k(3^p, 2^q)\) auf Summen von Ausdrücken von der Ordnung \(3p + 2q\) zu reduzieren, die aus Potenzen und Produkten der Semiinvarianten \(k_2\), \(k_3\), \(\ldots\), \(k_{3p+2q}\) der Population bestehen. Für die normal verteilte Population verschwinden alle \(k\) über \(k_2 =\sigma^2\), der Streuung. So ist z. B. \[ k(3^2,2^3)=\frac{2880n}{(n-1)^4(n-2)} \sigma^{12}. \] Durch eine symbolische Darstellung werden für eine normale Bevölkerung 16 Formeln \(k(3^p; 2^q)\) für kleine Werte von \(p\) und \(q\) als Funktionen von \(n\) und der Streuung der Population berechnet. Sie geben eine größere Genauigkeit für die Entwicklung der ersten Momentenquotienten bei einer normalen Bevölkerung als die bisher bekannte.