Das Glätten empirisch gefundener Zahlenreihen. (Q1831320)

Um eine Zahlenreihe zu glätten (die zufälligen Abweichungen der einzelnen Werte zu beseitigen) kann man (geometrisch gesprochen) eine parabolische Kurve so legen, daß sie dem zu verbessernden Punkt und einem, zwei, oder mehreren seiner Nachbarpunkte beiderseits sich möglichst gut annähert (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate) und die Ordinate dieser Parabel als Ersatzordinate verwenden. Der einfache Fall, daß man eine Parabel zweiter Ordnung (gewöhnliche Parabel) und zwei Nachbarpunkte beiderseits benützt, wird an mehreren Stellen des Schrifttums erwähnt (z. B. \textit{H. v. Sanden}, Praktische Analysis, S. 112). Verf. behandelt hier den allgemeinen Fall. Erzeigt, daß der verbesserte Ordinatenwert nur von den Differenzen \(\varDelta_{2m+2}\), \(\varDelta_{2m+4}\), \dots, \(\varDelta_{2n}\), bei denen das zu verbessernde Argument die Mitte der zur Bildung der Differenzen verwendeten Argumente bildet, abhängt. Hierbei bedeutet \(2n + 1\) die Anzahl der bei der Annäherung herangezogenen Ordinaten, \(2m + 1\) die Ordnung der Hilfsparabel. Für die Fälle \(n = m + 1\), \(n = m + 2\), \(n = m + 3\) werden auch die Koeffizienten der Formeln ausgerechnet. Am Rande der empirisch gewonnenen Tafel versagt das Verfahren, weil die Nachbarwerte auf der einen Seite ganz oder zum Teil fehlen. Man kann aber durch eine Abänderung des Verfahrens auch für diese Werte vorsorgen. (IV 16.)