Über Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten. (Q1831384)

Verf. beweist den folgenden Satz: Es sei in einem \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum \(R_n\) eine beliebige Menge von Zellen (abgeschlossenen Punktmengen von denselben Zusammenhangsverhältnissen wie abgeschlossene konvexe Bereiche) gegeben. Der Durchschnitt von je \(k\) dieser Zellen (\(k=1,2,\ldots,n+1)\) soll wieder eine Zelle sein. Dann ist der Durchschnitt aller Zellen der Menge nicht leer und selbst eine Zelle. Der Beweis dieses Satzes im \(R_2\) erledigt sich nach einer speziellen Methode; für höhere Dimensionen wird zum Beweis ein Satz von \textit{W. Mayer} über die \textit{Betti}schen Zahlen der Vereinigung und des Durchschnitts zweier Komplexe benutzt, der vom Verf. auf beliebige abgeschlossene Punktmengen übertragen wird. Hierbei treten an Stelle der in Komplexen definierten \textit{Betti}schen Zahlen bei beliebigen abgeschlossenen Punktmengen im \(R_n\) die von \textit{Vietoris} (F. d. M. 53, 552 (JFM 53.0552.*)) im Anschluß an \textit{Brouwer} definierten ``Zyklosezahlen'', die von \textit{Alexandroff} (F. d. M. 54, 608 (JFM 54.0608.*)) auch ``\textit{Brouwer}sche Zahlen'' genannt werden. Eine abgeschlossene Punktmenge heißt eine Zelle, wenn ihre sämtlichen \textit{Brouwer}schen Zahlen Null sind. Außer dem oben angeführten Hauptsatz wird noch eine Reihe sich anschließender Sätze bewiesen.