Sur une hypothèse fondamentale de la théorie de la dimension. (Q1831393)

Das Gesetz von der Addition der Dimensionen, d. h. die Formel \[ \dim (F' \times F'') = \dim F' + \dim F'', \] gilt für zwei abgeschlossene Mengen \(F'\), \(F''\) im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum, wenn man die Dimension (mod \(m\)) im Sinne von \textit{Alexandroff} definiert, und zwar welches auch \(m\) sei (vgl. das vorstehende Referat). Hieraus folgt, daß diese Formel für die Dimension von \textit{Brouwer}, \textit{Urysohn}, \textit{Menger} richtig bleibt, wenn es sich um Punktmengen im dreidimensionalen Raum handelt. Verf. konstruiert zwei abgeschlossene Mengen \(F'\), \(F''\), die im vierdimensionalen Raum gelegen sind und deren Brouwersche Dimensionen \(\dim F'= \dim F'' = 2\) sind, während dim \((F' \times F'') = 3\) ist. Das allgemeine Problem der Addition der Dimensionen entscheidet sich also negativ in der Dimensionstheorio von \textit{Brouwer}, \textit{Urysohn}, \textit{Menger}. Verf. zeigt, daß man voneinander verschiedene topologische Invarianten erhält, wenn man in der Definition der Dimension (mod \(m\)) dem Modul \(m\) verschiedene Werte erteilt; alle diese Invarianten sind übrigens von der \textit{Brouwer}schen Dimension verschieden.