Über geschlossene Cantorsche Mannigfaltigkeiten. (Q1831395)

Verf. nennt jede \(n\)-dimensionale abgeschlossene Menge des \(n\)-dimensionalen Raumes \(R^n\), die sich durch \(r\)-dimensionale Zyklen nach variablem Modul approximieren läßt, eine \(r\)-dimensionale schlechtweg geschlossene \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit. Wenn sich die Menge durch Zyklen nach einem festen Modul approximieren läßt (der gleich Null oder einer ganzen Zahl \(m \geqq 2\) ist), so handelt es sich um eine nach diesem Modul geschlossene \textit{Cantor}sche Mannigfaltigkeit. Verf. faßt das Ergebnis der vorliegenden Abhandlung folgendermaßen zusammen: Unter allen \(r\)-dimensionalen abgeschlossenen Mengen des \(R^n\) sind die schlechtweg geschlossenen \textit{Cantor}schen Mannigfaltigkeiten \(F\) durch die Gesamtheit der folgenden beiden Eigenschaften charakterisiert: (1) Es gibt einen \((n- r- 1)\)-dimensionalen Polyederzyklus in \(R^n- F\), welcher dortselbst nicht berandet; (2) wenn \(F'\) eine echte abgeschlossene Teilmenge der \textit{Cantor}schen Mannigfaltigkeit \(F\) und \(\varGamma\) ein \((n-r-1\)-dimensionaler Zyklus in \(R^n- F'\) ist, so berandet \(\varGamma\) in \(R^n-F'\). Die modulo 0 geschlossenen \textit{Cantor}schen Mannigfaltigkeiten werden analog charakterisiert, nur sind dann die Berandungen mit Division zu verstehen; für die modulo \(m\) geschlossenen \textit{Cantor}schen Mannigfaltigkeiten sind die Berandungen modulo \(m\) zu verstehen. Alle diese Begriffe fallen für \((n-1)\)-dimensionale abgeschlossene Teilmengen des \(R^n\) zusammen. Die \((n-1)\)-dimensionalen in irgend einem der hier angegebenen Sinne geschlossenen \textit{Cantor}schen Mannigfaltigkeiten sind Kontinua, die den Raum zerlegen und als gemeinsame Begrenzung aller Gebiete, in die sie den Raum zerlegen, auftreten.