Erweiterung einer Homöomorphie. (Q1831411)

Verf. beweist den folgenden Satz über metrische Räume \(E\), \(F\), \(\overline{E}\), \(\overline{F}\): (1) Ist \(F\) in \(E\) abgeschlossen, so läßt sich eine Homöomorphie zwischen \(F\) und \(\overline{F}\) zu einer Homöomorphie zwischen \(E\) und einem geeigneten Raum \(\overline{E}\) erweitern. Dieser Satz besagt die Möglichkeit einer ``Ummetrisierung'', d. h: Einem topologischen metrisierbaren Raum \(E\) läßt sich stets eine Metrik aufprägen, deren Teilmetrik in einer abgeschlossenen Teilmenge \(F\) von \(E\) vorgeschrieben ist. Der Beweis von (1) ist einem Beweis nachgebildet worden, den Verf. in einer früheren Arbeit [Math. Z. 5, 292--309 (1919; JFM 47.0240.01)] für den Tietzeschen Satz für die Erweiterung einer in einer abgeschlossenen Menge stetigen Funktion zu einer im ganzen Raume stetigen angegeben hat. Als Folgerungen aus (1) ergeben sich die Sätze: (2) Ein metrisierbarer Raum ist dann und nur dann kompakt, wenn er in jeder Metrik beschränkt ist. (3) Ein metrisierbarer Raum ist dann und nur dann kompakt, wenn er in jeder Metrik vollständig ist. (3) ist auf anderem Wege von \textit{V. Niemytzki} und \textit{A. Tychonoff} Fundam. Math. 12, 118--120 (1928; JFM 54.0625.02)] bewiesen worden.