On continuous curves and the Jordan curve theorem. (Q1831418)

Verf. untersucht, wann eine stetige Kurve dem ``\textit{Jordan}schen Kurvensatz'' genügt, d. h. von jeder einfach geschlossenen Kurve \(K\) in genau zwei Gebiete zerlegt wird, deren gemeinsame Grenze \(K\) ist. Dabei gelangt Verf. zur Charakterisierung gewisser Typen von Flächen, die als stetige Kurven aufgefaßt werden können und der Bedingung des \textit{Jordan}schen Satzes genügen: (1) Die Zylinderbäume, d. h. die topologischen Bilder des Komplementärgebietes einer abgeschlossenen, nirgends zusammenhängenden Punktmenge auf einer Kugel. Jede stetige Kurve, die dem \textit{Jordan}schen Satz genügt, ist ein Zylinderbaum. Dann und nur dann ist eine stetige Kurve \(S\) ein Zylinderbaum, wenn sie zyklisch zusammenhängend ist, und wenn für jede einfach geschlossene Kurve \(K\) in \(S\) \(S - K\) in genau zwei Komponenten zerfällt und jeder Punkt von \(K\) Häufungspunkt von \(S-K\) ist. (2) Unter den Zylinderbäumen, die dem \textit{Jordan}schen Satz genügen, sind die einfach geschlossenen Flächen durch die Forderung der Kompaktheit ausgezeichnet. (3) Ein topologisches Bild der Ebene ist charakterisiert als eine Fläche, die dem \textit{Jordan}schen Satz genügt und nicht kompakt ist, auf der aber jede einfach geschlossene Kurve ein kompaktes Gebiet bestimmt. Diese Flächen können auch durch ein von \textit{R. L. Moore} (1916; F. d. M. 46, 828 (JFM 46.0828.*), 1498) angegebenes Axiomensystem charakterisiert werden.