Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani multipli generali. (Q1831694)

Die Schwierigkeiten, denen der Existenzbeweis der algebraischen Funktionen von zwei Variablen begegnete, liegen in dem Mangel einer Charakterisierung derjenigen ebenen Kurven, die Übergangskurven mehrfacher Ebenen darstellen können. Diese Charakterisierung leistet vorliegende Arbeit. Verf. betrachtet \(\nu\)-fache Ebenen, die die Projektion einer allgemeinen \(F_\nu'\) des \(R_3\) von einem äußeren Punkte sind, und charakterisiert vollkommen die Übergangskurve \(K_\nu\). \(K_\nu\) ist von der Ordnung \(n= \nu (\nu-1)\), besitzt \(d = \frac12 \nu (\nu - 1) (\nu - 2) (\nu - 3)\) Doppelpunkte \(P\) und \(k = \nu (\nu - 1) (\nu - 2)\) Rückkehrpunkte \(Q\), woraus sich die übrigen \textit{Plücker}schen Charaktere von \(K_\nu\) ergeben. Für \(\nu >2\) genügt die Angabe der letzteren aber nicht, um \(K_\nu\) zu charakterisieren. Es finden vielmehr folgende Lagebeziehungen statt: (1) Es gibt eine Kurve \(H\) der Ordnung \(\nu (\nu-2)\), die durch \(P\) und \(Q\) geht, in \(Q\) die \(K_\nu\) tangiert und \(K_\nu\) nicht weiter schneidet. (2) Es gibt eine Kurve \(L\) der Ordnung \((\nu - 1)(\nu - 2)\), die durch \(P\), \(Q\) geht und \(K_\nu\) nicht weiter schneidet. (3) Es gibt eine \(M\) der Ordnung \(n - 2\), die einfach durch \(P\), doppelt durch \(Q\) geht und \(K^r_\nu\) nicht weiter schneidet. (4) Es gibt \(\infty^3\) Kurven \(L'\) der Ordnung \((\nu-l)(\nu- 2)+ 1\), die einfach durch \(P\), doppelt durch \(Q\) laufen. In den Spezialfällen \(\nu = 3, 4\) zerfallen die eingeführten Kurven und decken sich teilweise, während dies für \(\nu > 4\) nicht mehr vorkommt. Die \(K_\nu\) definieren ein irreduzibles kontinuierliches Kurvensystem \(\varSigma_\nu\) das für \(\nu > 4\) irregulär ist; es ist vollständig. Verf. zeigt nun, daß die Existenz zweier sich in \(P\), \(Q\) nicht tangierender Kurven \(L\), \(L'\) mit obigen Eigenschaften auch hinreicht, um zusammen mit den \textit{Plücker}schen Charakteren \(K_\nu\) als Ubergangskurve einer \(\nu\)-fachen Ebene zu charakterisieren. Die gefundenen Sätze gelten auch, wenn \(F_\nu\) eine endliche Anzahl konischer oder biplanarer Doppelpunkte aufweist; dann entstehen auf \(K_\nu\) zusätzliche Doppel- bzw. Rückkehrpunkte, die als virtuell nicht-existierend anzusehen sind. Die Anwendung auf \(\nu=4\) ergibt eine Fülle neuer Sätze über ebene \(C_4\), z. B: Das reguläre kontinuierliche System der ebenen Kurven vierter Klasse ist ganz in \(\varSigma_4\) enthalten; zu einer ebenen \(C_4\) existieren im allgemeinen 63 kovariante \(C_2\); und weitere Sätze über Kummersche Flächen. (IV 6 C, V 5 C.)