A generalization of the Weddle surface, of its Cremona group, and of its parametric expression in terms of hyperelliptic theta functions. (Q1831701)

Die \textit{Weddle}sche Fläche \(W_2\), der Ort der Scheitel aller Kegel zweiter Ordnung, die durch sechs Punkte (Fundamentalpunkte) des Raumes laufen, ist invariant gegenüber einer Cremonagruppe \(G_{32}\) mit einer ausgezeichneten involutorischen Verwandtschaft, welche jeden Punkt von \(W_2\) einzeln in Ruhe läßt. Diese ausgezeichnete Verwandtschaft ist die \textit{Geiser}sche, welche jedem siebenten Punkte des Raumes den achten zuordnet, der mit dem siebenten und den sechs Fundamentalpunkten ein Oktupel assoziierter Punkte bildet. Die sechs Fundamentalpunkte gehen symmetrisch als singuläre Punkte in diese Verwandtschaft ein. Die Verallgemeinerung von \(G_{32}\) gibt eine Abelsche \(G_{2^{n+2}}\) im \(S_n\), die durch \(n+ 3\) Punkte \(p_l\) bestimmt ist: Werden \(n+ 1\) Punkte davon als Eckpunkte des Koordiriatensimplex gewählt, und sind \(y_i, z_i\) die Koordinaten der beiden übrigen Punkte \(p_j, p_k\), so definieren die Gleichungen \[ x_i\cdot x_i' = y_i\cdot z_i\quad (i = 0, \ldots,n) \] eine involutorische Transformation \(I_{j,k}\) dieser Gruppe, und die Gruppe wird von den Transformationen \(I_{j,k}\) erzeugt. Wenn n ungerade ist, enthält \(G_{2^{n+2}}\) eine ausgezeichnete Verwandtschaft mit der besonderen Eigenschaft, alle \(n + 3\) Punkte in symmetrischer Weise als singuläre Punkte zu besitzen. Die Verwandtschaft hat für \(n = 2p - 1\) eine Ruhepunktmannigfaltigkeit von \(p\) Dimensionen. \textit{Diese wird als verallgemeinerte Weddlesche, Mannigfaltigkeit \(W_p\), im \(S_{2p-1}\) definiert.} Eine zur \textit{Schottky}schen Parameterdarstellung der \(W_2\) analoge Parameterdarstellung der \(W_p\) gewinnt Verf. zugleich mit einer Parameterdarstellung der \(W_p'\), die sich durch Projektion der \(W_p\) von einem Fundamentalpunkte aus auf einen \(S_{2p-2}\) ergibt, durch Verallgemeinerung eines für die \(W_2\) in seinem Buche (Algebraic geometry and theta functions, 1929 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\)), Nr. 39) ausgeführten Gedankens: \(t_1, \ldots, t_{2p+2}\) seien die binären Parameter der Fundamentalpunkte auf der durch sie hindurchlaufenden Normalkurve \(N^{2p-1}\). Ist dann \(x\) ein Punkt der \(W_p\), so ist die Figur der \(2p+ 2\) Fundamentalpunkte und des Punktes \(x\) assoziiert (im Sinne von a. a. O. Nr. 16) zu einer gewissen ebenen Punktfigur, die von einer ebenen hyperelliptischen Kurve \(H_p^{p+2}\) mit einem \(p\)-fachen Punkt bestimmt wird, für welche die Wurzeln der binären Fundamentalform zu \(t_1, \ldots, t_{2p+2}\) projektiv sind. Die Figur besteht aus dem \(p\)-fachen Punkte und den Verzweigungspunkten des einzigen linearen Punktsystems \(g_1^2\) auf der Kurve. Die \(p - 1\) zwischen den Punkton der ebenen Punktfigur bestehenden projektiven Relationen genügen, um die Identität der so erhaltenen Mannigfaltigkeit mit der oben delinierten \(W_p\) nachzuweisen. Die gefundene Parameterdarstellung wird zu einer Abbildung von \(W_p\) auf die verallgemeinerte \textit{Kummer}sche Mannigfaltigkeit \(K_p\) benutzt. Die Deutung einer Menge von Thetarelationen als Beziehungen zwischen projektiven Invarianten gibt in dem besonders ausführlich behandelten Falle \(p = 3\) geometrische Eigenschaften der \(W_3\) des \(S_5\). Diese Mannigfaltigkeit hat die Ordnung 19. Ihre 8 Fundamentalpunkte sind 9-fache Punkte; die Geraden \(\widehat{p_ip_j}\) und die durch die Fundamentalpunkte bestimmte Normalkurve \(N^5\) sind dreifache Kurven der Mannigfaltigkeit. Die entsprechende \(W_3'\) des \(S_4\) ist von der Ordnung 10 und enthält eine interessante Fläche \(V_2^{11}\) elfter Ordnung mit sieben dreifachen Punkten \(p_i\). Die \(V_2^{11}\) enthält die 21 Verbindungslinien dieser Punkte zu je zweien und die durch die sieben Punkte laufende \(N^4\). In ihr durchdringen sich die sieben \textit{Weddle}schen Kegel \(H_i\) der \(W_3'\). Dabei ist \(H_7\) der Ort für die Punkte \(x\) von der Art, daß die Punkte \(p_1, \ldots, p_6\) von der Geraden \(\widehat{p_7x}\) aus in sechs Punkte eines Kegelschnittes projiziert werden. Schließlich werden die Besonderheiten des hyperelliptischen Falles der verallgemeinerten \textit{Kummer}schen Mannigfaltigkeit \(K_3\) im \(S_7\) studiert, und die gefundenen Thetarelationen finden mannigfache andere Anwendungen, besonders auf den hyperelliptischen Fall der \textit{Cayley}schen Dianodalfläche. (IV 6 E.)