Synopsis der höheren Mathematik. IV: Metrische Differentialgeometrie der Ebene und des Raumes. (Q1831764)

Von der bekannten ``Synopsis der höheren Mathematik'' sind die drei ersten Bände in den Jahren 1891, 1894, 1906 zum Abschluß gebracht worden (F. d. M. 22, 1253 (JFM 22.1253.*)-1255; 25, 1905-1906; 35, 975-976). Der vorliegende vierte Band behandelt die metrische Differentialgeometrie der Ebene und des Raumes. Als Abschluß des Gesamtwerkes war, wie Verf. hier in der Vorrede bemerkt, ein fünfter Band vorgesehen, der die transszendenten Funktionen zum Gegenstand haben sollte, und zu dem schon Vorarbeiten vorhanden sind. Verf. hat aber die Vollendung des vierten Bandes nicht mehr erlebt: am 5. 9. 1930 ist er, im vierundachtzigsten Lebensjahre stehend, verstorben. Die Korrekturen des Bandes sind nur zum Teil noch von ihm selbst erledigt worden, und auf die Hinzufügung eines Sachverzeichnisses, das Verf. im ersten Zustande der Ausarbeitung hinterlassen hat, mußte verzichtet werden. Die Darstellung in dem vorliegenden Bande ist in demselben Sinne gestaltet, wie Verf. es im Vorwort zum ersten Bande der ``Synopsis'' auseinandergesetzt und in den drei ersten Bänden durchgeführt hat: Die ``Synopsis'' soll ein Nachschlagewerk, also weder ein Lehrbuch noch eine Formelsammlung, sein. Der Text ist daher in kurze Absätze geteilt und mit zahlreichen Literaturangaben vermischt. Entsprechend seiner Absicht, in der ``Synopsis'' nur Theorien, die zu einem gewissen Abschluß gelangt sind, darzustellen, hat Verf. sich hier auf die klassische metrische Differentialgeometrie in ihrem Bestände etwa zur Zeit der Jahrhundertwende beschränkt und in den Literaturhinweisen daher nur solche neueren Arbeiten berücksichtigt, die sich mit Fragen der klassischen Theorie beschäftigen. Dem Bande ist ein Nachruf auf den Verf., Schilderung seines Lebenslaufes und kurze Würdigung der wissenschaftlichen Werke, vorangestellt (vgl. auch die in F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 27 angezeigten Nachrufe). Inhaltsverzeichnis: Vorwort. Erster Teil: \textit{Kurven}. Abschnitt I. Kurven in der Ebene. 1. Definitionen und Grundformeln. 2. Berührung der Kurven. 3. Evoluten und Evolventen. 4. Kurvennetze. 5. Minimalgerade und Singularitäten. 6. Besondere Klassen von Kurven. Anhang: Einzelne Kurven. Abschnitt II. Raumkurven. I. Definitionen und Grundformeln. 2. Die begleitenden Raumgebilde. 3. Berührung der Kurven. 4. Evoluten und Evolventen. 5. Imaginäre Kurven und Singularitäten. 6. Besondere Klassen von Kurven. Zweiter Teil: \textit{Theorie der Flächen}. Abschnitt III. Die Grundlagen der Flächentheorie. 1. Einleitende Erklärungen. 2. Fundamentalgrößen und Differentialparameter. 3. Die mit einer Fläche verbundenen geometrischen Größen. 4. Berührung von Flächen mit Flächen. 5. Flächenscharen und ihre Einhüllenden. Abschnitt IV. Die Hauptformeln der Flächentheorie. 1. Grundformen und Grundgleichungen. 2. Das Krümmungsmaß. Abschnitt V. Parameternetze. 1. Umformung der Parameternetze. 2. Definitionen und Einteilung der Parameternetze. 3. Netze mit vorgeschriebenen Eigenschaften. 4. Isotherme Kurvennetze. 5. Mehrfache Parameternetze besonderer Art. 6. Einzigartige Parameternetze besonderer Art. Abschnitt VI. Flächenkurven und ihre Krümmungen. 1. Definitionen und Einteilungen. 2. Normal- und Tangentialkrümmung. 3. Flexion, absolute und geodätische Torsion. Dritter Teil: \textit{Flächenkurven und Hauptflächen.} Abschnitt VII. Klassen von Flächenkurven. Einleitung. 1. Krümmungslinien. 2. Asymptotenlinien. 3. Minimalkurven. 4. Konjugierte Kurven. 5. Geodätische Kurven. Anhang: Besondere Flächenkurven. Abschnitt VIII. Klassen der Hauptflächen. Einleitung. 1. Abwickelbare Flächen. 2. Regelflächen. 3. Umdrehungsflächen und ihre Verallgemeinerungen. 4. Schiebflächen. 5. Schraubenflächen und ihre Verallgemeinerung. 6. Sphärische Flächen. 7. Pseudosphärische Flächen. 8. Minimalflächen (Elassoide). 9. Parallelflächen und Flächen konstanter mittlerer Krümmung. 10. Evolutenflächen. 11. Flächen mit besonderen Krümmungslinien. 12. Abhängige Hauptkrümmungshalbmesser. Abschnitt IX. Einzelne Flächen. 1. Kugel und Pseudosphäre. 2. Katenoid und Wendelfläche. 3. Dupinsche Zykliden und Kanalflächen. 4. Flächen zweiten Grades. Vierter Teil: \textit{Verhalten von Gebilden zueinander.} Abschnitt X. Abbildung von Kurven und Flächen. 1. Übersicht. 2. Definition und allgemeine Sätze. 3. Konforme Abbildung. 4. Sphärische Abbildung. 5. Geodätische Abbildung. Abschnitt XI. Isometrie und Verbiegung der Flächen. 1. Einleitung. 2. Aufgaben der Isometrie. 3. Wahrung bestimmter Kurven. 4. Besondere Flächengruppen. 5. Isometrie im Unendlichkleinen. Abschnitt XII. Mehrfache Systeme von Geraden, Kurven und Flächen. 1. Einleitung. 2. Allgemeine Linienkongruenzen. 3. Besondere Linienkongruenzen. 4. Kurvensystème. 5. Orthogonale Kreiskongruenzen. 6. Flächenkongruenzen. 7. Allgemeine Flächenkomplexe. 8. Besondere orthogonale Flächenkomplexe. (V 6 B.) Besprechung: L. Bieberbach; Jahresbericht D. M. V. 41 (1931), 18 kursiv.