Lehrbuch der Differentialgeometrie. Bd. I, II. I: A. Duschek. Kurven und Flächen im euklidischen Raum. II: W. Mayer. Riemannsche Geometrie. (Q1831765)

I. Unter den zahlreichen Lehrbüchern der metrischen Differentialgeometrie der Kurven und Flächen im dreidimensionalen \textit{Euklid}ischen Raum nimmt der erste Band des vorliegenden Werkes durchaus eine Sonderstellung ein wegen der konsequenten Anwendung des Tensorkalküls, die sich in der Lehrbuchliteratur sonst nur, übrigens auch in anderer Form, in dem Buch von \textit{J. E. Campbell}, A course of differential geometry (1926; F. d. M. 52) findet. Auch die Vektorrechnung im dreidimensionalen \textit{Euklid}ischen Raum ist hier, unter Verzicht auf die Anwendung der üblichen Symbolik, tensoriell dargestellt worden (vgl. dazu die Arbeit des Verf. in Jahresbericht D. M. V. 39 (1930), 269-278; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 664). Ob die Ansicht des Verf. zutreffend ist, diese ``symbolfreie'' Vektorrechnung sei einfacher und anschaulicher als die übliche, möchte Referent zu entscheiden sich nicht unterfangen, da es sich wohl nur um eine Geschmacksfrage handelt. Bleibt somit die Frage offen, ob die vom Verf. hier vorgetragene \textit{tensorielle} Darstellung der Kurven- und Flächentheorie im gewöhnlichen Raum einfacher ist als die übliche \textit{vektorielle}, so scheint doch für die Behandlung aller Fragen der inneren, d. h. nicht die Existenz eines einbettenden dreidimensionalen Raumes benötigenden, Differentialgeometrie der Fläche der Tensorkalkül nach Ansicht des Referenten zweifellos sowohl in geometrischer als auch in formaler Hinsicht das adäquate Hilfsmittel zu sein. Das Buch beginnt mít einem einleitenden Kapitel über das Erlanger Programm und über Tensoralgebra im dreidimensionalen \textit{Euklid}ischen Raum. Im folgenden Kapitel wird die Kurventheorie im Raum erörtert; bemerkenswert ist hier die ausführliche Behandlung und Klassifizierung der analytischen Kurven im komplexen Raum. Im dritten Kapitel wird nach Einführung der ersten Fundamentalform und der damit zusammenhängenden flächentheoretischen Elementarbegriffe sofort die Tensoralgebra auf der Fläche besprochen und bereits eine Propädeutik der Fragestellungen der Geometrie auf der Fläche gegeben. Kap. IV enthält die Behandlung der Dinge, die mit der zweiten Fundamentalform (deren Koeffizienten nennt Verf. \(b_{\alpha, \beta}\); \(l_{\alpha, \beta}\) wäre wohl näherliegend gewesen) zusammenhängen: Hauptkrümmungen, Krümmungslinien, Asymptotenlinien. Die folgenden beiden Kapitel (V, VI) lassen die Eigenart des Buches besonders scharf hervortreten: Nach Einführung der kovarianten Differentiation lenkt Verf. mit der Frage, ob die zweiten kovarianten Ableitungen eines Vektors von der Reihenfolge der Differentiationen abhängen -- daß diese Abhängigkeit bei einem Skalar nicht besteht, ist unmittelbar ersichtlich --, sofort auf den \textit{Riemann}schen Krümmungstensor hin. Die Vorteile der tensoriellen Darstellung werden offenbar in der prägnanten Schreibweise der \textit{Gauß}schen Ableitungsgleichungen \[ \frac{\mathfrak d^2 x_i}{\mathfrak d u_\alpha \mathfrak d u_\beta} = b_{\alpha \beta} \nu_i, \] der \textit{Mainardi-Codazzi}schen Gleichungen \[ \frac{\mathfrak d b_{\varkappa\lambda}}{\mathfrak d u_\mu} = \frac{\mathfrak d b_{\varkappa\mu}}{\mathfrak d u_\lambda} \] und des Theorema egregium \[ K = \frac{1}{g} R_{1212} \] sowie in der klaren und eleganten Herleitung dieser Sätze und des \textit{Bonnei}schen Fundamentalsatzes über die Bestimmbarkeit einer Fläche durch die Tensoren \(g_{\alpha\beta}\) und \(l_{\alpha\beta}\). In diesen Gleichungen bedeutet \(\dfrac{\mathfrak d}{\mathfrak d u_\alpha}\) die kovariante Ableitung nach der Flächenkoordinate \(u_\alpha\), \(\nu_i\) die Raumkoordinate des Flächennormalvektors, \(R_{\alpha\beta\gamma\delta}\) den kovarianten Krümmungstensor, \(K\) das Krümmungsraaß und \(g\) die Determinante des Maßtensors \(g_{\alpha\beta}\). Die Behandlung der Geometrie auf der Fläche in Kap. VI nimmt die mit Hilfe kovarianter Differentiation definierte \textit{Levi-Civita}sche Parallelverschiebung zum Ausgangspunkt, die ja mehr und mehr Eingang auch in die Lehrbücher der elementaren Differentialgeometrie findet (vgl. z. B. die 1930 neu aufgelegten bzw. neu erschienenen Bücher von \textit{Blaschke} (F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 588) und \textit{Weatherburn} (F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 589), die 1931 ausgegebene Neubearbeitung der Differentialgeometrie von \textit{V.} \& \textit{K. Kommerell} (F. d. M. 57) und das 1932 erschienene Bändchen von \textit{Bieberbach} über Differentialgeometrie (F. d. M. 58)), nach Ansicht des Referenten hier aber besonders organisch in den Stoff verarbeitet worden ist. Ferner werden in Kap. VI die geodätische Krümmung, und zwar auf Grund der naturgemäßen Definition als ``Krümmung einer Kurve auf der Fläche'', d. h. als Normierungsfaktor in den \textit{Frenet}schen Formeln für eine Flächenkurve, die geodätischen Linien und Koordinaten und die \textit{Gauß-Bonnet}sche Integralformel behandelt. Anwendungen auf spezielle Kurven- und Flächenklassen im Schlußkapitel (VII) sowie in den meist mit ``Ergänzungen und Anwendungen'' überschriebenen Schlußparagraphen der einzelnen Kapitel vervollständigen den Inhalt des Bandes. Am Schluß seines Vorworts bemerkt Verf., er habe ``in diesem Buch die Zügel der Exaktheit straffer angezogen, als es in der Geometrie meist üblich ist''. Das trifft auch zu, namentlich, was die saubere Formulierung der für jede einzelne Untersuchung benötigten Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsvoraussetzungen betrifft. Allerdings scheint es dem Referenten, als wäre Verf. in Einzelheiten der Darstellung gelegentlich von diesem Grundsatz abgewichen; z. B. operiert er bei der Herleitung der geometrischen Deutung der Parallelverschiebung (S. 184-185), die sich durch einfache Umrechnung der Differentialgleichungen der Parallelverschiebung mit Hilfe der \textit{Gauß}schen Ableitungsgleichungen gewinnen läßt, mit infinitesimalen Vektoren. Ferner ist wohl zur Vermeidung unexakter Vorstellungen beim Leser die Verwendung von Ableitungen nach einem Parameter der Verwendung von Differentialen, wie sie sich in dem Buch durchweg findet, vorzuziehen. Schließlich möchte Referent sich den Hinweis auf einen Flüchtigkeitsfehler erlauben, der dem Verf. unterlaufen ist: Die Schmiegungsebene in einem Punkte der Raumkurve \(x_i(t)\) \((i = 1, 2, 3)\), in dem die Vektoren \(\dot x_i(t)\), \(\ddot x_i(t)\) linear unabhängig sind, wird in bekannter Weise durch Grenzübergang aus der durch drei nicht in gerader Linie liegende Kurvenpunkte \(x_i(t)\), \(x_i(t + h)\), \(x_i(t + k)\) bestimmten Ebene gewonnen. Auf die Differenzen \(x_i(t+h) - x_i(t)\) wendet Verf. den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an, indem er bei allen drei Funktionen \(x_i(t)\) dasselbe \(\vartheta\) verwendet. -- An störenden Druckfehlern ist dem Referenten nur einer aufgefallen: In der \textit{Weierstraß}schen Darstellung für die reellen Minimalflächen (Formel (21) auf S. 235) muß es in der Formel für \(x_2\) nicht \(\dfrac{u^2 - 1}{2}\), sondern \(\dfrac{u^2 + 1}{2}\) heißen. Bei dem Leser des ersten Bandes werden, wie in der elementaren Differentialgeometrie üblich, nur die Kenntnis der Infinitesimalrechnung und metrischen analytischen Geometrie, ferner der Existenzsätze aus der Theorie der Differentialgleichungen und, vereinzelt, gewisser funktionentheoretischer Grundtatsachen vorausgesetzt. Das gilt auch für den zweiten, den allgemeinen \textit{Riemann}schen Räumen gewidmeten Band des Werkes, den man \textit{W. Mayer} verdankt, und der ohne Kenntnis des ersten lesbar ist, wenn auch das Studium des ersten Bandes dem Anfänger das des zweiten außerordentlich erleichtern dürfte. II. Während der \textit{Inhalt} des ersten Bandes durch die traditionelle Behandlung des Gegenstandes in Lehrbüchern und Vorlesungen im Großen festgelegt und die Freiheit des Autors somit im wesentlichen auf die Form der Darstellung beschränkt ist, besteht bei dem Gegenstände des zweiten Bandes auch Freiheit in bezug auf die Auswahl des Stoffes. Über die Gesichtspunkte, die Verf. bei dieser Auswahl befolgt hat, äußert er sich so im Vorwort zum zweiten Bande: ``Der vorliegende zweite Band ist aus Vorlesungen entstanden, die ich in den Jahren 1926 bis 1928 an der Wiener Universität gehalten habe. Ausschlaggebend für die Stoffwahl war neben meiner eigenen Arbeits- und Gedankenrichtung das Bestreben, ein lesbares Lehrbuch mittleren Umfangs zu schaffen. So mußte ich mir einerseits manche Beschränkung auferlegen, andrerseits vieles aufnehmen, was Gemeingut aller den gleichen Gegenstand behandelnden Lehrbücher ist. Es ist also mit Notwendigkeit zu erwarten, daß ein fachkundiger Leser manches Vorhandene als minder wesentlich und vieles Nichtvorhandene für wichtiger halten wird. Ausdrücklich erwähnen will ich nur noch, daß mir die in einem Buch über Riemannsche Geometrie gebotene Unterdrückung der ideenreichen und weite Perspektiven eröffnenden Ansätze von \textit{Weyl} und \textit{Wirtinger} besonders schwer gefallen ist.'' Soviel über das Fehlende; über das Vorhandene soll im folgenden ein kurzer Überblick gegeben werden, der aber bei dem überaus reichen Inhalt des Bandes keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben kann. In Kap. I wird die Algebra für Tensoren in einem Punkte eines \(n\)-dimensionalen Punktraumes \(R_n\) entwickelt; es werden (ko- und kontravariante) Vektorräume eines Punktes und ihre \textit{Plücker}schen Tensoren besprochen. In Kap. II wird die kovariante Differentiation für Tensoren behandelt, die längs einer stetig differenzierbaren \(l\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(F_l\) des \(R_n\) stetig differenzierbar gegeben sind, und zwar unter Verwendung der Darstellung des Tensors durch zwei adjungierte \(n\)-Beine, aber ohne Benutzung eines im \(R_n\) gegebenen Maßtensors. In Kap. III wird der \(n\)-dimensionale \textit{Riemann}sche \(R_n\) als ein Punktraum definiert, bei dem in jedem Punkte ein symmetrischer, positiv definiter, hinreichend oft stetig differenzierbarer Tensor zweiter Stufe \(g_{ik}\), der Maßtensor, gegeben ist. Es werden die Metrik des \(R_n\) und seine \(l\)-dimensionalen Hyperflächen besprochen. In Kap. IV wird zunächst die Kurventheorie im \textit{Riemann}schen \(R_n\) entwickelt. Dann wird durch geeignete Wahl des Tensors \(g_{ik}\) der \textit{Riemann}sche zum \textit{Euklid}ischen \(R_n\) spezialisiert, die Bewegungsgruppe für den \textit{Euklid}ischen und den \textit{Riemann}schen \(R_n\) definiert und die Kurventheorie auf den \textit{Euklid}ischen Fall angewendet. Das folgende Kapitel (V) behandelt Variationsrechnung, d. h. die Geometrie in dem von Verf. sehr allgemein definierten ``\(n\)-dimensionalen Punktraum der Variationsrechnung'': In dem Punktraum \(R_n\) (ohne Maßtensor) sei eine Funktion \[ F(x_1, \dots, x_n; \, \lambda^1, \dots, \lambda^n) = F(x, \lambda) \] der Komponenten \(\lambda^i\) eines kontravarianten Vektors und der Koordinaten \(x^i\) seines ``Angriffspunktes'' gegeben, die in den \(\lambda^i\) positiv homogen von der \(k\)-ten Dimension sei, d. h. für jedes \(c > 0\) der Bedingung \[ F(x, c\lambda) = c^k F(x, \lambda) \] genüge, ferner nicht negativ und Null nur für den Nullvektor sei. Mit Hilfe der Funktion \(F(x, \lambda)\) wird auf der Kurve \(x_i = x_i(t)\) die ``Bogenlänge'' durch \[ \int_{t_0}^{t_1} F(x, x^\prime) \, dt \tag{*} \] und die ``Entfernung'' zweier Punkte \(P\), \(Q\) des \(R_n\) als untere Grenze der durch (*) gegebenen Längen aller \(P\) und \(Q\) verbindenden Bögen definiert. Für diese Metrik wird das Problem der geodätischen Linie behandelt. Zum Schluß wird durch geeignete Spezialisierung der Funktion \(F(x, \lambda)\) die Anwendung auf den \textit{Riemann}schen \(R_n\) gegeben. Nach diesem Exkurs in die Variationsrechnung kehrt Verf. in Kap. VI zur Differentialgeometrie des \textit{Riemann}schen \(R_n\) zurück: Parallelverschiebung, Krümmungstensor, geodätische Mannigfaltigkeiten, geodätische Koordinaten, Ebenen, Räume mit konstanter Krümmung, Räume mit eindeutig parallelverschiebbaren Vektorräumen. Eine \(l\)-dimensionale Hyperfläche \(F_l\) des \textit{Riemann}schen \(R_n\) nennt Verf. eine ``Ebene'' (in einer früheren, gemeinsam mit \textit{I Blumenfeld} veröffentlichten Arbeit (1922; F. d. M. 48, 848 (JFM 48.0848.*)) sagte er ``Ebenste''), wenn sie jede Raumgeodätische, mit der sie ein Linienelement (d. h. Punkt und Richtung) gemein hat, ganz enthält oder, was dasselbe ist, wenn jede Geodätische der \(F_l\) auch Raumgeodätische ist. Für den \textit{Riemann}schen \(R_n\) mit konstanter Krümmung ist charakteristisch, daß es in jedem Punkt und in jeder Richtung Ebenen gibt. Das Kap. VII ist der Differentialgeometrie auf den \(l\)-dimensionalen Hyperflächen im \textit{Riemann}schen \(R_n\) gewidmet. Da jetzt neben den Raumtransformationen (Transformationen des \(R_n\) in sich) auch Flächentransformationen (Transformationen der \(F_l\) in sich) in Betracht gezogen werden müssen, werden auf der \(F_l\) verallgemeinerte Tensoren \[ {}_{\alpha_1 \dots \alpha_\varrho}^{\beta_1 \dots \beta_\sigma} T_{i_1, \dots i_r}^{j_1, \dots j_s} \] eingeführt; bei diesen laufen die den Raumtransformationen entsprechenden lateinischen Indices von 1 bis \(n\) und die den Flächentransformationen entsprechenden griechischen Indices von 1 bis \(l\). Dann wird die zugehörige Verallgemeinerung der kovarianten Differentiation gegeben. Darauf entwickelt Verf. die Theorie der Kurven auf einer \(F_l\) besonders die der Geodätischen auf einer \(F_l\); für diese erweist sich, in Verallgemeinerung der bekannten elementaren Eigenschaft der Geodätischen auf einer \(F_2\) im \textit{Euklid}ischen \(R_3\), als charakteristisch, daß ihre erste Raumnormale eine Normale der \(F_l\) ist. Auch für die Ebenen im \(R_n\) ergibt sich hier eine charakteristische Eigenschaft: Eine \(F_l\) ist dann und nur dann eine Ebene, wenn jeder ihr angehörende Vektor bei räumlicher Parallelverschiebung längs einer beliebigen \(F_l\)-Kurve stets in ihr verbleibt. Ferner werden die Relativkrümmungen einer \(F_l\) im \(R_n\) hergeleitet. In den beiden letzten Kapiteln werden vorwiegend \textit{Riemann}sche \(R_n\) mit konstanter Krümmung betrachtet. Anknüpfend an die in Kap. VI gegebene Charakterisierung der \(R_n\) mit konstanter Krümmung betrachtet Verf. zunächst einen \(R_n\), dem jene charakteristische Eigenschaft \textit{nur in einem Punkte} \(P_0\) zukommt, d. h. der durch \(P_0\) in jeder Orientierung Ebenen besitzt. Verf. nennt einen solchen \(R_n\) einen \textit{Schur}schen Raum mit dem Punkt \(P_0\) als Zentrum (\textit{F. Schur}; Math. Ann. 27 (1886), 537-567; F. d. M. 18, 713 (JFM 18.0713.*)). Für den auf \textit{Riemann}sche Normalkoordinaten mit dem Nullpunkt \(P_0\) bezogenen \textit{Schur}schen \(R_n\) mit dem Zentrum \(P_0\) wird eine charakteristische Form des Maßtensors gegeben. Die Betrachtung wird dann auf den \(R_n\) mit konstanter Krümmung \(K\) spezialisiert; für den Maßtensor ergeben sich hier, je nachdem \(K = 0\), \(> 0\), \(< 0\) ist, Formeln, die den bekannten Formehl für Flächen konstanten Krümmungsmaßes im \textit{Euklid}ischen \(R_3\) ganz analog sind. Ferner wird die konforme Abbildung des \(R_n\) mit konstanter Krümmung besprochen; dabei geht Verf. auch auf das \textit{Klein}sche Modell der \(R_n\) mit konstanter negativer Krümmung ein. Das letzte Kapitel (IX) wird der Behandlung des ``Formenproblems'' der \(F_l\) im \(R_n\) mit konstanter Krümmung gewidmet. Wie eine \(F_2\) im \textit{Euklid}ischen \(R_3\) auf Grund des \textit{Bonnet}schen Satzes durch Maßtensor und Haupttensor, d. h. durch die beiden ersten Fundamentalformen, wenn diese den \textit{Mainardi-Codazzi}schen Gleichungen und dem Theorema egregium genügen, bis auf Bewegungen und Spiegelungen bestimmt ist, so wird hier gezeigt, daß es für jede \(F_l\) mit \(1 \leqq l \leqq n-1\) im \(R_n\) von konstanter Krümmung ein Formensystem gibt, das die \(F_l\) bis auf Bewegungen und Spiegelungen charakterisiert. Verf. schließt sich hier an eigene Arbeiten sowie an Arbeiten seiner Freunde und Schüler \textit{C. Burstin} und \textit{G. Bergmann} an: \textit{C. Burstin, W. Mayer}; Monatshefte f. Math. 34 (1926), 89-136 (F. d. M. 52). \textit{W. Mayer}, Monatshefte f. Math. 35 (1928), 87-110 (F. d. M. 54, 794 (JFM 54.0794.*)). \textit{C. Burstin}; Monatshefte f. Math. 36 (1929); 97-130, 353-360 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\)). \textit{G. Bergmann}; Monatshefte f. Math. 36 (1929), 259-268 (F. d. M. \(55_{\text{II}}\)). Ein Anhang enthält die Ausdehnung des \textit{Meusnier}schen Satzes auf die \(F_l\) im \textit{Euklid}ischen \(R_n\), einen Beweis für den \textit{Gauß}schen Integralsatz im Riemannschen \(R_n\) und eine Anwendung des Tensorkalküls auf ein Problem der klassischen Mechanik, nämlich auf die \textit{Euler}schen Kreiselgleichungen. (V 6 B, C.) Zusammenfassend kann gesagt werden, daß das vorliegende zweibändige Werk sowohl in dem elementaren, als auch in dem höheren Teil eine wertvolle Bereicherung der differentialgeometrischen Lehrbuchliteratur vorstellt. Besprechungen: E. H. N.; Math. Gazette 16 (1932), 52-53. A. Palatini; Scientia 51 (1932), 369-370. D. J. Struik; Bulletin A. M. S. 38 (1932), 324-326. W. Süß; Jahresbericht D. M. V. 41 (1932), 99-101 kursiv. O. Volk; Physikal. Z. 31 (1930), 912.