Le curve intuitive. (Q1831766)

Verf. stellt sich die Aufgabe, auf geometrischem Wege eine Kurvendefinition zu entwickeln, die die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür einschließt, daß die Kurve durch einen biegsamen Faden realisiert werden kann; diese Kurven nennt er intuitiv. Den Ausgangspunkt bildet eine beschränkte Punktmenge \(C\), die homöomorph zu einer Strecke \(S\) ist; der Unterschied zwischen Endpunkten und inneren Punkten von \(C\) ist dann topologisch invariant. Auch der Begriff des Durchlaufungssinnes erweist sich als topologisch invariant. Nun werden die tangierenden Halbstrahlen in einem Kurvenpunkt \(P\) und der Begriff des einfachen Kurvenpunktes definiert und nur noch Kurven mit lauter einfachen Punkten betrachtet. Für diese gilt der geometrische Ausdruck des \textit{Rolle}schen Satzes, und die Endpunkte sind vollständig dadurch charakterisiert, daß sie nur einen tangierenden Halbstrahl besitzen. Jetzt spezialisiert sich Verf. weiter auf stetig-variable Tangente ; dann kann man die Punkte der Ebene in innere, äußere und neutrale einteilen, je nachdem von ihnen aus \(C\) unter konvexem, konkavem oder gestrecktem Winkel erscheint, und Angaben über die Lage dieser Punkte machen. Nun ist die Brücke nach der analytischen Darstellung zu schlagen: die zuletzt betrachteten Kurven sind rektifizierbar und gestatten eine reguläre Parameterdarstellung durch die Bogenlänge. Hat \(C\) außer der stetig-variablen Tangente überall eine Krümmung und besitzt \(C\) nicht unendlichviele Wendepunkte, so ist \(C\) eine intuitive Kurve. Mittels leicht zu erschließender topologischer Beziehungen schließt man, daß eine intuitive Kurve eine endliche maximale Schnittpunktszahl mit einer beliebigen Geraden (Ordnung) und eine endliche maximale Anzahl von Tangenten in einem beliebigen Geradenbüschel (Klasse) besitzt. (Vgl. auch die in F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 365 besprochene Arbeit des Verf.) (V 2, V 5 C.)