L'inviluppo di un sistema più volte infinito di curve piane. (Q1831781)

Die Ausdehnung des Begriffs der \textit{Einhüllenden} auf eine \textit{mehrparametrige} Schar ebener Kurven ist bisher selten behandelt worden. Vor wenigen Jahren (1927; F. d. M. 53, 655 (JFM 53.0655.*)) definierte \textit{G. Mammana}, als \textit{Einhüllende} \(n\)-\textit{ter Ordnung} einer \(r\)-parametrigen Schar ebener Kurven für \(r= 1\), falls überhaupt vorhanden, eine solche Kurve, die in jedem ihrer Punkte mit einer Kurve der Schar eine Borührung \(n\)-ter Ordnung hat, für \(r > 1\) eine Kurve, die Einhüllende \(n\)-ter Ordnung einer einparametrigen Teilschar der betrachteten \(r\)-parametrigen Schar ist. Er zeigte, daß zu einer \(r\)-parametrigen Schar ebener Kurven im allgemeinen eine \((r - 1)\)-parametrige Schar von Einhüllenden \(r\)-ter Ordnung existiert. Anders ist der Gesichtspunkt, von dem \textit{F. Severi} in einer Untersuchung ausging, die er im Jahre 1921 dem R. Istituto Veneto vorlegte und die, damals noch nicht veröffentlicht, nunmehr vervollständigt unter Mitarbeit von \textit{B. Segre} zur Veröffentlichung gelangt ist. Die Verf. bezeichnen als \textit{charakteristischen Hauptpunkt} (punto caratteristico principale) einer \(r\)-parametrigen Schar \(\sum\) ebener Kurven \(C\) einen einfachen Punkt einer Kurve \(C\), durch den \textit{alle} zu \(C\) unendlich benachbarten Kurven der Schar hindurchgehen. Anders ausgedrückt: \(P_0\) auf einer Kurve \(C\) der Schar ist charakteristischer Hauptpunkt, wenn er Grenzlage eines Punktes \(P\) ist, der \(C\) und einer anderen, \(C\) benachbarten, Kurve der Schar \(\sum\) gemeinsam ist, \textit{wie auch immer} diese Nachbarkurve innerhalb der Schar \(\sum\) gegen \(C\) geht. Jede solche Kurve \(C\) wird Hauptkurve (curva principale) genannt. Als \textit{Einhüllende} von \(\sum\) wird \textit{der Ort der charakteristischen Hauptpunkte} bezeichnet, und als \textit{Rang} der Einhüllenden die \textit{Anzahl der Parameter der Hauptkurvenschar}. Es wird vor allem bewiesen, daß \textit{die charakteristischen Hauptpunkte einer Schar ebener Kurven nicht ein zweidimensionales Gebiet ausfüllen} können. Für diesen grundlegenden Satz geben die Verf. drei Beweise, deren einer auf interessanten Untersuchungen in Hyperräumen beruht, die auch an späterer Stelle nützliche Anwendungen finden. Wenn also eine Einhüllende existiert, so ist sie eine Kurve oder eine \textit{diskrete Punktmenge}. Wird die Kurve \(C\) der Schar \(\sum\) durch die Gleichung \[ f(x, y; \lambda_1, \dots, \lambda_r) = 0 \] dargestellt, so ist dafür, daß der Punkt \(P_0 (x = x_0, y= y_0)\) auf der Kurve \(C_0\) (\(\lambda_1 = c_1\), \(\dots\), \(\lambda_r = c_r\)) charakteristischer Hauptpunkt ist, \textit{notwendig}, daß für \[ x = x_0, y= y_0 ; \lambda_1 = c_1, \dots, \lambda_r = c_r \] die Gleichungen erfüllt sind: \[ f= 0; \frac {\partial f}{\partial \lambda_1} = 0, \dots, \frac {\partial f}{\partial \lambda_r} = 0; \] aber die Bedingung ist \textit{nicht ohne weiteres hinreichend}, nicht einmal im klassischen Fall \(r = 1\). Es ist notwendig, weitere Bedingungen hinzuzufügen, die sich durch \textit{Ungleichungen} ausdrücken. Die Verf. widmen insbesondere dem Fall \(r = 1\) eine gründliche Untersuchung, wobei sie sich der Einfachheit halber auf analytische Funktionen beschränken, die im Gebiet der komplexen Zahlen betrachtet werden; hieraus ergibt sich leicht der Übergang zum Fall \(r \geqq 2\), der sich auf den vorangehenden zurückführen läßt. Die Verf. finden, daß dafür, daß \(P_0\) charakteristischer Hauptpunkt sei, (zu den bereits erwähnten Bedingungen) \textit{hinreichend} ist, daß nicht alle Minoren \(r\)-ter Ordnung einer Matrix mit \(r\) Spalten und unendlich vielen Zeilen verschwinden; sie deuten ferner an, wie man die Untersuchungen in dem Falle weiterführen kann, in dem alle diese Minoren verschwinden. Wichtig ist die Tatsache, daß diese Resultate \textit{für die betrachtete \(r\)-parametrige Kurvenschar natürliche Bedeutung} haben und nicht von der Wahl der Parameter abhängen. Die Verf. leiten nun viele interessante Resultate her bezüglich des \textit{Ranges} der Einhüllenden. Dieser kann nur die Werte 1, 2,\(\dots\), \(r\) annehmen, und es gibt andererseits Einhüllende, für die der Rang alle diese Werte wirklich annimmt. Der allgemeinere Fall ist derjenige, in dem der Rang gleich l ist, weil der Rang l nur übertreffen kann, wenn die Hessiana \(H\) von \(f (x, y; \lambda_1,\dots, \lambda_r)\), als Funktion von \(\lambda_1\), \(\dots\), \(\lambda_r\) aufgefaßt, verschwindet. Es existiert somit -- die Einhüllende berührt stets die Hauptkurven in den charakteristischen Hauptpunkten -- in der \(r\)-parametrigen Schar \(\sum\) im allgemeinen eine einparametrige Kurvenschar, deren Einhüllende mit der der \(r\)-parametrigen Schar übereinstimmt. Wenn die Matrix der Determinante \(H\) in \(P_0\) den Rang \(r - \varrho\) hat, so gehört dieser Punkt einem Teil der Einhüllenden von \(\sum\) an, dessen Rang höchstens \(\varrho + 1\) ist. Interessant ist der Fall, in dem der Rang genau \(\varrho + 1\) ist; hier ist die Aufsuchung der Einhüllenden besonders einfach und läuft auf die Bestimmung des festen Bestandteils einer \(\varrho\)-parametrigen Teilschar von \(\sum\) hinaus. Einige interessante Sätze betreffen \textit{Einhüllende von Einhüllenden}. Der allgemeinste dieser Sätze ist der folgende: Ist \(\sum\) eine \(r\)-parametrige Schar, und verteilen sich ihre Kurven auf ein \(\varrho\)-parametriges System von \((r - \varrho)\)-parametrigen Scharen \(\sum^\prime\), deren jede eine Einhüllende \(\varGamma^\prime\) vom Rang \(\sigma (1 \leqq \sigma \leqq r - \varrho)\) hat, und besitzt die \(\varrho\)-parametrige Schar der Kurven \(\varGamma^\prime\) ihrerseits eine Einhüllen de vom Range \(\tau (1 \leqq \tau \leqq \varrho)\), so ist diese im allgemeinen ein Bestandteil der Einhüllenden von \(\sum\) und hat wie diese den Rang \(\sigma + \tau - 1\). Für spezielle Kurvenscharen kann dieser Satz seine Gültigkeit verlieren, wie die Verf. an einigen Beispielen zeigen. Die Verf. deuten kurz den Fall an, in dem die Einhüllende nur aus einer Gruppe von Punkten besteht. Sie beschließen die Arbeit mit einer Bemerkung, die ein für Differentialgleichungen erster Ordnung bekanntes Resultat über das singulare Integral auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung überträgt: Die Einhüllende der \(r\)-parametrigen Lösungsschar der Gleichung \[ F(x, y; y^\prime, y^{\prime\prime}, \dots, y^{(r)}) = 0 \tag{*} \] kann erhalten werden als Einhüllende der \(r\)-parametrigen Schar, die entsteht, wenn man \(y^\prime, y^{\prime\prime}, \dots, y^{(r)}\) als Parameter ansieht. Dieser Satz berührt sich mit dem von \(G\), \textit{Mammana} in der oben zitierten Arbeit erhaltenen: Die singulären Integrale der Gleichung (*) kann man als Einhüllende \(r\)-ter Ordnung der \(r\)-parametrigen Integralkurvenschar erhalten. Sie genügen der Gleichung \[ \frac {\partial F}{\partial y^{(r)}} = 0. \] Eine weitere Gegenüberstellung der beiden Untersuchungen dürfte von einigem Interesse sein.