Sulle curve analoghe al circolo osculatore quando si passa da tre a quattro punti infinitamente vicini. (Q1831786)

Die Verf. haben sich die Aufgabe gestellt, auf geometrischem Wege, durch geeignete Wahl einer Schmiegkurve, die Umgebung dritter Ordnung eines Punktes \(P_0\) einer Kurve \(C\) des gewöhnlichen euklidischen Raumes zu charakterisieren. Es handelt sich also darum, unter den unendlich vielen Kurven \(\varGamma\), die in \(P_0\) mit \(C\) das begleitende Dreibein, die Krümmung \(c\), die Torsion \(\tau\) und die Ableitung der Krümmung \(\dfrac{dc}{ds}\) gemeinsam haben, eine auszuwählen, die unter allen andern durch ein möglichst einfaches Gesetz ausgezeichnet wird. Wenn \(C\) \textit{eben} ist (oder auch nur eine in \(P_0\) verschwindende Torsion hat), so wird eine Lösung durch die \textit{Klothoide} gegeben (für diese ist \(\dfrac{dc}{ds}\) konstant). Die Gleichungen \[ x = \int_0^s \cos \vartheta \, ds, \quad y = \int_0^s \sin \vartheta \, ds; \] die für \(\dfrac{d\vartheta}{ds} = c(s)\) die Kurve \(C\) darstellen, liefern die Klothoide für \(\vartheta = \dfrac 12 g s^2 + c_0 s\), wo \(c_0\) und \(g\) die Werte von \(c\) und \(\dfrac{dc}{ds}\) an der Stelle \(P_0\) sind. Die entsprechenden Quadraturen lassen sich nicht elementar ausführen. Die Verf. bemerken, daß man indessen (nach Einführung von \(\vartheta\) als Integrationsvariable) erreichen kann, daß die vorkommenden Quadraturen elementar ausführbar sind, wenn man z. B. \(\dfrac{ds}{d\vartheta}\) als rationale Funktion von \(\sin \vartheta\) und \(\cos \vartheta\) ansetzt. Es wird der Fall weiter ausgeführt, in dem diese Funktion vom Typus \[ \varrho_1 \cos n\vartheta + \varrho_2 \sin n\vartheta +\varrho_3 \] ist (wobei \(\varrho_1, \varrho_2, \varrho_3\) drei Konstanten sind und \(n\) eine ganze Zahl ist, derart, daß \[ \varrho_1 + \varrho_3 = \frac{1}{c_0}, \quad n\varrho_2 = -\frac{1}{c_0^3} g). \] Für \(\varrho_1 = 0\), \(n = 3\) ergibt sich eine \textit{rationale Sextik}. In allen Fällen ergeben sich algebraische Kurven, die geschlossen und algebraisch rektifizierbar sind. Unter den (hyperoskulierenden) ebenen algebraischen Kurven \(\varGamma\) kann das Auswahlkriterium auch das folgende sein: daß \(\varGamma\) \textit{von möglichst niedrigem Grade sei}, d. h. ein \textit{Kegelschnitt}. Unter den \(\infty^1\) hyperoskulierenden Kegelschnitten kann man dann die \textit{Parabel} oder die \textit{gleichseitige Hyperbel} auswählen. Ist \(C\) eine \textit{Raumkurve} (und \(\tau_0 \neq 0\)), \(c_0 \neq 0\), so kann man fordern, daß \(\varGamma\) eine \textit{zylindrische Schraubenlinie} sei. In \(P_0\) existieren \textit{zwei Richtungen} für die Erzeugenden des Zylinders, auf dem eine solche Schraubenlinie liegen kann. Der Normalschnitt des Zylinders muß eine hyperoskulierende Kurve der senkrechten Projektion der Kurve \(C\) auf seine Ebene sein und kann im übrigen willkürlich gewählt werden: Man kann ihn beispielsweise nach den oben für den Fall ebener Kurven \(C\) entwickelten Gesichtspunkten bestimmen. Man kann statt dessen fordern, daß \(\varGamma\) \textit{algebraisch} sei und \textit{von möglichst niedrigem Grade}, d. h. eine \textit{Raumkurve dritter Ordnung}. Sie kann durch die Bedingung bestimmt werden, daß sie sich der uneigentlichen Ebene in einem Punkte ihrer zum Punkte \(P_0\) gehörenden Normalebene (d. h. der Normalebene von \(C\)) anschmiegt und dort die uneigentliche Gerade dieser Normalebene zur Tangente hat. Wenn man will, daß \(\varGamma\) ein \textit{sphärischer Kegelschnitt} sei, und zwar der Schnitt der Schmiegkugel mit einem quadratischen Kegel, dessen Scheitel im Mittelpunkt der Kugel liegt, so genügt es, die Bedingung zu stellen, daß dieser sphärische Kegelschnitt den zum Punkte \(P_0\) als Pol gehörenden Äquatorgroßkreis berührt. Man kann schließlich verlangen, daß \(\varGamma\) eine \textit{zyklische Kurve dritter Ordnung} sei, und man kann dieser Kurve die Forderung auferlegen, daß sie die uneigentliche Ebene in drei Punkten schneide, von denen zwei auf dem uneigentlichen Kugelkreis liegen, und von denen der dritte, \(A\), der Pol der Verbindungslinie der ersten beiden bezüglich des uneigentlichen Kugelkreises ist. Es gibt aber keine \textit{eindeutig bestimmte} Kubik. \(A\) bestimmt sich als Schnitt zweier Kubiken auf der uneigentlichen Ebene. Statt mit Hilfe einer hyperoskulierenden Kurve kann die Umgebung dritter Ordnung auch mit Hilfe einer \textit{Konfiguration von Punkten und Geraden} gekennzeichnet werden, z. B. der folgenden von \textit{W. Blaschke} angegebenen: Wenn \(C\) \textit{eben} ist und \(P_1\) der auf der Evolute \(C_1\) von \(C\) gelegene Krümmungsmittelpunkt von \(C\) in \(P_0\) ist, und wenn \(P_2\) der auf der Evolute \(C_2\) von \(C_1\) gelegene Krümmungsmittelpunkt von \(C_1\) im Punkte \(P_1\) ist, so kann man die Konfiguration wählen, die gebildet wird von \(P_0\), der Tangente in \(P_0\) und vom Punkte \(P_2\) (der durch den Fußpunkt \(O\) des Lotes von \(P_1\) auf \(P_0 P_2\) ersetzt werden kann, dem Pol der eindeutig bestimmten logarithmischen Spirale, die \(C\) in \(P_0\) von dritter Ordnung berührt). Wenn \(C\) \textit{gewunden} ist, so lege man eine Ebene senkrecht zu der eindeutig bestimmten Richtung \(d\), die mit den drei sukzessiven Tangenten des Elementes dritter Ordnung von \(C\) in \(P_0\) gleiche Winkel einschließt. Ist \(O\) der Pol der logarithmischen Spirale, die das ebene Element dritter Ordnung enthält, das die Projektion des Elementes von \(C\) in \(P_0\) auf die soeben erklärte Ebene ist, so kann man als Konfiguration diejenige nehmen, die von \(P_0\), der Tangente in \(P_0\) und der Geraden gebildet wird, die von \(O\) in der Richtung \(d\) ausgeht. (Vgl. die Noten von \textit{B. de Finetti} und \textit{B. Segre} im Bollettino U. M. I. 9 (1930); 20-25, 159-162; F. d. M. \(56_{\text{II}}\).)