Topologische Fragen der Differentialgeometrie. 28: Ein Schließungssatz. (Q1831856)

Man habe ein geschlossenes orientierbares Vielflach (Polyeder), dessen Seitenflächen alle Vierecke sind. Man denkt sich nun die Seitenflächen entfernt, so daß nur das Kantengerüst nachbleibt, das ein Vielkant \(K^*\) genannt wird; \(K^*\) wird topologisch auf ein neues geradliniges Vielkant \(K\) abgebildet, dessen Kanten zu windschiefen Vierecken angeordnet sind. In diese windschiefen Vierecke werden nun Kreuze eingespannt; man sagt, daß zwei solche Kreuze aneinander anschließen, wenn sie zu zwei Vierecken mit gemeinsamer Kante gehören und auf dieser Kante denselben Teilpunkt liefern. Dann gilt folgender Satz: Es sei möglich, alle Vierecke eines Vielkants \(K\) so zu ``bekreuzen'', daß diese Kreuze längs aller Kanten von \(K\) mit Ausnahme von einer aneinander schließen; dann schließen sie notwendig auch an der letzten Kante an. Als Folgerung ergibt sich eine Formel, die den Zusammenhang des allgemeinsten Systems von krummflächigen, aber geradlinigen Punktkoordinaten mit den homogenen projektiven Koordinaten darstellt. Endlich wird ein Satz über Vielflache, deren Seitenflächen alle Dreiecke sind, welcher ein Gegenstück zum obigen Satz bildet, aufgestellt.