On the various linear displacements in the Berwald-Finsler's manifold. (Q1831917)

Verf. überträgt \textit{Schouten}s auf Punkträume bezügliche Ergebnisse (1922; F. d. M. 48, 858 (JFM 48.0858.*)) auf \textit{Berwald-Finsler}sche Räume \(T_n\), in denen einem Punkte \(P\) die Zahlen \(x^\nu\) \textit{und} \(p^\nu\) zugeordnet sind, wo \(x^\nu\) die Koordinaten von \(P\) bedeuten und \(p^\nu\) eine gewisse Richtung in \(P\) bezeichnen. Verf. beginnt mit der \textit{örtlichen} Geometrie, mit der Einführung der Skalare, Vektoren, Tensoren und der Maßbestimmung \(g_{\lambda\mu}\). Was die Bezeichnung betrifft, so ersetzt man wohl den von ihm gebrauchten Namen vector of mass des \textit{Maß}-Vektors \(\underset\alpha e^\mu\) passend durch vector of measure. -- Verf. entwickelt dann die Tensorrechnung in einem \textit{zusammenhängenden} Raume. An die Spitze stellt er den Begriff der linearen Übertragung \(\mathfrak U\), bei dem zu ihren von \textit{Schouten} geforderten Eigenschaften neue hinzutreten, die von \(p^\nu\) herrühren. Nunmehr vermag er die kovariante Ableitung gemischter Tensoren beliebiger Ordnung zu erklären. Dabei spielen auch hier folgende Tensorfelder eine Rolle: (1) Das mit der Ableitung der Einheitsgrößen zusammenhängende Feld \(C_{\lambda\mu}^{\,\cdot\,\cdot\nu}\), dessen Verschwinden die Überschiebungs-Invarianz von \(\mathfrak U\) zur Folge hat; (2) das von der Unsymmetrie der Bestimmungszahlen des affinen Zusammenhangs herrührende Feld \(S_{\lambda\mu}^{\,\cdot\,\cdot\nu}\), durch dessen Verschwinden \(\mathfrak U\) symmetrisch wird; (3) das bei der Ableitung der \(g^{\lambda\mu}\) auftretende Feld \(Q_\nu^{\,\cdot\lambda\mu}\), bei dessen Verschwinden \(\mathfrak U\) maßtreu ausfällt. Je nach der Beschaffenheit dieser Tensorfelder unterscheidet Verf.~54 verschiedene \(\mathfrak U\); unter ihnen finden sich alle im bisherigen Schrifttume der \(T_n\) betrachteten \(\mathfrak U\). -- In der Krümmungslehre verallgemeinert Verf. das von \textit{Berwald} (M. Z. 25 (1926), 40-73; F. d. M. 52; vgl. insbesondere S.~54 der zitierten Arbeit) aufgestellte Gegenstück der Identität von \textit{Bianchi}, indem er in die für den Krümmungstensor gültige Formel einen willkürlichen Skalar aufnimmt.