Sulle congruenze di rette che ammettono reti coniugate ad invarianti uguali. (Q1831957)

Hat eine Geradenkongnienz (im \(n\)-dimensionalen Raume) ein konjugiertes Netz mit gleichen Invarianten (\(\varGamma \)-Netz), so heißt sie eine \(C\)-Kongruenz. Aus den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine \(C\)-Kongruenz folgt sofort, daß eine \(C\)-Kongruenz immer (mindestens) ein Paar \(\varGamma \)-Netze besitzt (\textit{Koenigs}), und zwar sind die Netzpunkte von Fokalpunkten auf jeder Kongruenzgeraden harmonisch getrennt. Hat eine \(C\)-Kongruenz zwei Paare von \(\varGamma \)-Netzen, so hat sie unendlich viele solcher Netze. Auch dieser Fall wird eingehend studiert, und es werden die einzelnen Kategorien der \(C\)-Kongruenzen angegeben. -- Die Invarianten (der \textit{Laplace}schen Gleichung der Fokalnetze) einer \(C\)-Kongruenz lassen sich mittels einer einzigen Funktion \(\varPhi (u, v)\) ausdrücken. Die Elimination von \(\varPhi \) aus den Invarianten gibt also die notwendigen und hinreichenden Bedingungen an, wann eine gegebene Kongruenz zur \(C\)-Kongruenz wird. Sind diese Bedingungen erfüllt, so lassen sich die entsprechenden \(\varGamma \)-Netze bloß mit Quadraturen bestimmen. -- Der Tangentenkomplex einer Fläche (welche keine Regelfläche ist) im gewöhnlichen Raume bildet sich in dem fünfdimensionalen Raume der \textit{Plücker}schen Koordinaten auf die Punkte der Geraden einer Kongruenz ab. Ist diese Kongruenz eine \(C\)-Kongruenz, so ist die betreffende Fläche eine \(R\)-Fläche, woraus nach der Theorie der \(C\)-Kongruenzen verschiedenes über die \(R\)-Flächen abgeleitet werden kann.