Zur Differentialgeometrie zweier komplexer Veränderlicher: Überflächen im vierdimensionalen Raume. (Q1831968)

Zwei komplexe Zahlen \(x\), \(y\) bestimmen einen Vektor \(\mathfrak x\) des vierdimensionalen Raumes. Es handelt sich hier um die Differentialgeometrie der Überflächen \(\mathfrak x (u, v, w)\) als Invariantentheorie gegenüber der speziellen affinen Gruppe \[ x' = ax+by + f,\;\;y' = cx+ dy + g,\;\;ad - bc = 1.\tag{\(G\)} \] Dabei werden die von \textit{Almer} (1922; F. d. M. 48, 1229 (JFM 48.1229.*)-1230) als hyperplanoides bezeichneten Überflächen von vornherein nicht mitbetrachtet. Auf den andern Überflächen gibt es eine Schar von Kurven, welche nach Richtung und Länge bezüglich (\(G\)) invariant ausgezeichnet sind, die ``Spurkurven'' der Überflächen; außerdem wird ein invariantes Volumenintegral angegeben. In jeder Tangenten-Überebene von \(\mathfrak x\) gibt es eine analytische Ebene, die sogar bei der allgemeinen analytischen Gruppe \(x'=X(x,y)\), \(y'= Y (x, y)\) invariant ist. Ein Vektor \(\mathfrak y\) dieser analytischen Ebene und Tangentenvektor \(\mathfrak z\) der Spurkurve, der ihr nicht angehört, bilden (bei passender Normierung) ein invariant mit der Überfläche verbundenes begleitendes Zweibein, durch das sich (bei Benutzung komplexer Koeffizienten) jeder Vektor linear darstellen läßt. In der Tangenten-Überebene liegen dann \(\mathfrak y\), \(i\mathfrak y\); und \(\mathfrak z\), nicht aber \(i\mathfrak z\), der ``Normalenvektor''. Es werden unter Benutzung invarianter Ableitungen die Ableitungsgleichungen und ihre Integrierbarkeitsbedingungen abgeleitet. Als funktionentheoretische Anwendung ergibt sich in eleganter Weise der Satz, daß eine Überfläche nach der Seite des Normalenvektors hin nicht natürliche Grenze des Regularitätsbereichs einer analytischen Funktion von \(x\), \(y\) sein kann. (IV 4.)