Auf die Riemann-Metrik und den Fern-Parallelismns gegründete einheitliche Feldtheorie. (Q1832377)

Die Entwicklung einer Theorie der Gravitation und Elektrizität auf gemeinsamer (geometrischer) Basis als ``einheitliche'' Feldtheorie befindet sich -von kleineren Varianten abgesehen -- gegenwärtig im dritten Stadium. Nach \textit{Weyl}s Vorsuch vom Jahre 1918 (Einheitliche Feldtheorie im Kontinuum mit nichtintegrabler Vektor- und Streckenübertragung) und \textit{Eddington}s Ansatz vom Jahre 1921 (Einheitliche Feldtheorie im Kontinuum mit affinem Zusammenhang als Primäreigenschaft) begann Verf. seit 1928 den Ausbau einer einheitlichen Feldtheorie im \textit{Riemann}schen Kontinuum mit Fernparallelismus (vgl. F. d. M. 54 (1928), 942-943; 55\(_{\text{I}}\) (1929), 497-498). Die vorliegende Arbeit verfolgt den Zweck, eine zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse dieser letzten Arbeiten zu geben und behandelt darüber hinaus prinzipielle Fragen und Postulate, welche für die Feldgleichungen der Theorie maßgebend sind. Verf. beginnt mit der Darstellung des algebraischen Kalküls im Kontinuum der einheitlichen Feldtheorie: Jedem seiner Punkte wird in bekannter Weise (vgl. F. d. M. 54, 942 (JFM 54.0942.*)-943) ein lokales (pseudo-)euklidisches Koordinatensystem zugeordnet, dessen Grundvektoren auf ein beliebiges \textit{Gauß}sches Koordinatensystem bezogen die Komponenten \(h_s^\nu\) des ``Fundamentaltensors'' liefern (\(\nu\)-te \textit{Gauß}sche Komponente des \(s\)-ten Grundvektors im \(n\)-Bein). Vektoren in verschiedenen Punkten des Kontinuums, welche daselbst gleiche Lokalkomponenten haben, heißen ``parallel''. Der Fundamentaltensor \(h_s^{\nu}\) und seine normierten Unterdeterminanten, der Tensor \(h_{s\nu}\), vermitteln den Übergang von lokalen (lateinischen) zu \textit{Gauß}schen (griechischen) Indices. Neben dem Fernparallelismus der Lokalsysteme ist aber vermöge der Beziehungen \(g_{\mu\nu}= h_{s\mu}h_{s\nu}\) in eindeutiger Weise die \textit{Riemann}sche Metrik des Kontinuums aus dem \(n\)-Bein-Feld \(h_s^\nu\) abgeleitet. Beide Eigenschaften, Fernparallelismus und Riemannmetrik, sind invariant gegenüber Drehung sämtlicher Lokalsysteme mit Hilfe einer und derselben orthogonalen ortsunabhängigen Matrix. Im analytischen Teil des Kalküls legt Verf. den Schwerpunkt der Betrachtungen in das Parallelverschiebungsgesetz des Fernparallelismus. Dieses ist nicht symmetrisch, jedoch integrabel. Mithin verschwindet der ``Krümmungstensor'' dieser Übertragung identisch, aber im allgemeinen nicht ihre ``Torsion'' im Gegensatz zur \textit{Riemann}schen Übertragung, wo (wegen der Symmetrie der \textit{Christoffel}schen Zusammenhangskomponenten) die Verhältnisse gerade umgekehrt liegen. Die Zusammenhangskomponenten der fernparallelen Übertragung \(\varDelta_{\alpha\beta}^\sigma\) bestimmen das Gesetz der fernparallelen kovarianten Differentiation; sie bestimmen ferner den wichtigsten Tensor der neuen Theorie: \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma = \varDelta_{\alpha\beta}^\sigma -\varDelta_{\beta\alpha}^\sigma\). Sein identisches Verschwinden ist ein Kriterium für die Gültigkeit der euklidischen Geometrie im Kontinuum. Wie \textit{Weitzenböck} gezeigt hat (vgl. F. d. M. 54, 943 (JFM 54.0943.*)), sind sämtliche Differentialinvarianten des \(n\)-Beinfeldes der Vektoren \(h_s^\nu\) aus der Determinante \(h=|h_s^\nu|\neq 0\), aus den Tensoren \(g_{\mu\nu}\), \(\varDelta_{\alpha\beta}^\sigma\) und den kovarianten Ableitungen \(\varLambda_{\alpha\beta;\varrho;\ldots}^\sigma\) von \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma\) aufzubauen. Deutet man also physikalisch gesprochen den euklidischen Raum als ``leere Welt'' (\(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma\equiv 0\)), so entspricht dem Übergang zur ``Welt mit Gravitations- und elektromagnetischem Feld'' das Kontinuum mit nichtverschwindendem, den ``Feldgesetzen'' genügendem Tensor \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma\). Mit der Formulierung der ``Feldgesetze'' beginnt der kritische Teil der Theorie: Sie sollen möglichst zahlreich sein, sie sollen allgemein kovarianz sein, und die aus ihnen ableitbaren Bewegungsgesetze der Korpuskeln müssen mit der Erfahrung im Einklang stehen. Gemäß der Forderung der allgemeinen Kovarianz ist die Anzahl der von einander unabhängigen Differentialbedingungen für den Tensor \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma\) notwendig \(n^2-n\). Gleichwohl ist zu Gunsten einer möglichst hochgradigen Deterministik (aus physikalischen Gründen) eine Überbestimmung der Feldvariablen \(h_s^\nu\) erwünscht. Hier schlägt die Hypothese des Fernparallelismus die Brücke: Die Integrabilität seines Parallelverschiebungsgesetzes führt auf eine Reihe von Differentialidentitäten für den Tensor \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma\). Andererseits führt die Divergenzvertauschungsregel, wenn man sie auf \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma\) anwendet, auf vier Identitäten, welche sich als Differentialabhängigkeiten eines Systems von \(n^2+\dfrac{n(n-1)}2\) ``Feldgleichungen'' der Form \(G^{\mu\alpha}= 0\) und \(F^{\mu\alpha}= 0\) auffassen lassen, wobei sich die Tensoren \(G^{\mu\alpha}\) und \(F^{\mu\alpha}\) bilinear aus \(\varLambda_{\varrho\tau}^\sigma\) und linear aus dessen ersten kovarianten Ableitungen zusammensetzen. Zufolge einer Divergenzidentität des Tensors \(\varLambda_{\alpha\beta}^\sigma\) gelingt es, unter Einführung einer weiteren ``Feldvariablen'' \(\psi\) die \(\dfrac{n(n-1)}2\) Gleichungen \(F^{\mu\alpha}= 0\) durch \(n\) äquivalente \(F_\varkappa=0\) zu ersetzen. Damit ist das System der Feldgleichungen auf \(n^2+ n\) Gleichungen für \(n^2 + 1\) Funktionen \(h_{s\nu}\) und \(\psi\) reduziert, für welche das Bestehen von \(n\) Differentialidentitäten bereits bekannt ist (Vertauschungsregel). Verf. gelingt nun der Nachweis des Bestehens von weiteren \(n-1\) (insgesamt also von \(2n - 1\)) unabhängigen Differentialidentitäten im System der Feldgleichungen. Damit ist die Forderung der allgemeinen Kovarianz wiederum befriedigt, gleichwohl aber die Überbestimmtheit der Feldgleichungen gewahrt, da die auftretenden Identitäten durchweg auf höherer Differentiationsstufe liegen (in diesem Sinne ist der Ausdruck ``Differentialidentitäten'' gewählt worden) und keine der Feldgleichungen aus einer anderen gefolgert werden kann, eine Eigenschaft, derentwegen Verf. in einer anderen Arbeit (vgl. F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 497-498) von ``selbständigen'' Gleichungen spricht. Der Schluß der Arbeit ist einer Kompatibilitätsbetrachtung sowie dem Spezialfall einer ``ersten Näherung'' gewidmet. Diese Fragen hat Verf. in der nachstehend besprochenen Arbeit ausführlicher dargestellt. Vgl. ferner zu der vorliegenden Arbeit: \textit{T. Levi-Civita}; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 499-501.