Über eine Verallgemeinerung des Einsteinschen Raumtyps. (Q1832562)

Baut man eine Differentialgeometrie auf einer linearen Übertragung auf, so bestehen von vornherein vier Möglichkeiten hinsichtlich der Vergleichbarkeit von Vektorbeträgen und Vektorrichtungen: (1) Fernvergleich weder von Beträgen noch von Richtungen; (2) Fernvergleich von Beträgen, aber nicht von Richtungen; (3) Fernvergleich von Richtungen aber nicht von Beträgen; (4) Fernvergleich von Richtungen und von Beträgen. Verf. untersucht Fall (3), die Geometrie sogenannter Richtungsräume. Als charakteristische Bedingungen für die Krümmung eines derartigen Raumes ergeben sich die Relationen: \[ R_{\lambda\mu\nu}^\varkappa = \frac1n \delta_\lambda^\varkappa R_{\varrho\mu\nu}^\varrho =-\delta_\lambda^\varkappa D_{\mu\nu},\quad D_{\mu\nu}+D_{\nu\mu}=0. \] Äquivalent damit ist die Existenz eines kovarianten Vektorfeldes \(\zeta_\lambda\) von der besonderen Eigenschaft: \[ R_{\lambda\mu\nu}^\varkappa =\delta_\lambda^\varkappa\left( \frac{\partial \zeta_\mu}{\partial x^\nu} \frac{\partial \zeta_\nu}{\partial x^\mu}\right). \] Im \(n\)-Beinfeld der \(h_i^\lambda\) ergibt sich für die Parameter \(\varGamma_{\mu\nu}^\lambda\) der linearen Übertragung im Richtungsraum die Darstellung: \[ \varGamma_{\mu\nu}^\lambda =h_i^\lambda \frac{\partial h_\mu^i}{\partial x^\nu} - \delta_\mu^\lambda\psi_\nu,\quad \nabla_\mu h_i^h =-h_i^\lambda\psi_\mu. \] Von Spezialfällen wird insbesondere derjenige behandelt, wo \(R_{\lambda\mu\nu}^\varkappa = 0\). Schließlich werden noch kovariante Vektorfelder in diesem Zusammenhang untersucht und metrische Gesichtspunkte berücksichtigt.