Das Diagramm von Carl Runge für erzwungene Schwingungen. (Q1832643)

Wiedergabe eines Diagramms, das \textit{C. Runge} in seinen Vorlesungen bei der Diskussion der Differentialgleichung für die erzwungene Schwingung eines Systems von einem Freiheitsgrad \[ m\dfrac{d^2z}{dt^2}+d\dfrac{dz}{dt}+kz=a\cos \omega t\tag{1} \] (\(t =\) Zeit, \(z =\) Lagenkoordinate des schwingenden Systems, \(a =\) Amplitude, \(\omega =\) Kreisfrequenz der äußeren, die Schwingung anregenden Kraft, \(m\), \(d\) und \(k\) die physikalischen Konstanten des Systems) vorzutragen pflegte, und das Verf. wegen seiner Anschaulichkeit wieder in Erinnerung bringen möchte. Die anregende Kraft wird in ihrem zeitlichen Verlauf durch einen Vektor von der Länge a dargestellt, der mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) umläuft; die Projektion dieses Vektors auf die horizontale Achse stellt die jeweilige Größe der Kraft dar (Kreisdiagramm). Zur bequemeren mathematischen Behandlung von (1) wird das absolute Glied durch den komplexen Vektor \(a \exp (i\omega t)\) ersetzt und \(z\) ebenfalls als komplexer Vektor gedeutet, dessen Projektion auf die horizontale Achse dann den zeitlichen Verlauf der Bewegung darstellt.