Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik. IV: Stetigkeitssätze. Eine Begründung der Helmholtz-Kirchhoffschen Theorie geradliniger Wirbelfäden. (Q1832782)

Der Hauptsatz dieser Arbeit ist ein Stetigkeitssatz. Es sei eine den Gesamtraum erfüllende ideale Flüssigkeit vorgegeben, von der in einem nicht notwendig kurzen Zeitintervall \((t_0, t_1)\) eine bestimmte Bewegung bekannt ist, die in den \textit{Lagrange}schen Variablen die Form \[ x = x(a, b, c, t), \quad y = y(a,b, c, t), \quad z = z(a,b,c,t) \tag{1} \] hat. Unter gewissen Stetigkeitsannahmen läßt sich dann die Bewegung in eine stetige Schar von Bewegungen einbetten, die zu wenig geänderten Anfangs- oder Grenzbedingungen gehören und die im ganzen Zeitintervall \((t_0, t_1)\) erklärt sind. In der Ausführung wird angenommen, daß außerhalb einer aus lauter Wirbellinien bestehenden Fläche \(S_0\) die Bewegung wirbellos sei, im Innengebiet \(T_0\) von \(S_0\) dagegen die Wirbelkomponenten \(\xi_0, \eta_0, \zeta_0\) zur Zeit \(t_0\) nicht sämtlich verschwinden. Führt man durch eine topologische Abbildung \[ \dot a = a + \mathfrak A (a, b, c), \quad \dot b = b + \mathfrak B (a, b, c), \quad \dot c = c + \mathfrak C (a, b, c) \] \(T_0 + S_0\) in \(\dot T_0 + \dot S_0\) über, und sind \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\), \(\mathfrak C\) sowie ihre Ableitungen klein, \(\dot \xi_0 - \xi_0\), \dots ebenfalls mit ihren Ableitungen klein, dann läßt sich auf Grund der \textit{Cauchy-Helmholtz}schen Formeln ein sukzessives Näherungsverfahren ausarbeiten, das in \((t_0, t_1)\) eine Bewegung \[ \dot x = x(\dot a, \dot b, \dot c, t), \dots \] liefert, die \(\dot S_0\) zur Unstetigkeitsfläche besitzt, in \(\dot T_0\) die Anfangswirbelkomponenten \(\dot \xi_0, \dot \eta_0, \dot \zeta_0\) hat und außerhalb \(\dot S_0\) wirbellos ist. Dieser Stetigkeitssatz läßt sich noch weitgehend verallgemeinern; insbesondere gibt er die Eindeutigkeit der den Anfangs- und Stetigkeitsbedingungen genügenden Bewegung (1), wenn die Bewegung genügend langsam ist und gewisse Unendlichkeitsvorschriften erfüllt. Eine Anwendung dieser Sätze macht Verf. auf die \textit{Hehnholtz-Kirchhoff}sche Theorie geradliniger Wirbelfäden, deren Annahmen physikalisch ja nicht realisierbar sind. Unter gewissen Ungleichungsbedirigungen erhält Verf. durch ein Approximationsverfahren im beliebigen Zeitintervall \((t_0, t_1)\) Bewegungen, die sich von der \textit{Kirchhoff}schen außerhalb der unmittelbaren Umgebung der Wirbelfäden überall um beliebig wenig unterscheiden.