On the problem of hydrodynamic stability. I: Uniform shearing motion in a viscous fluid. (Q1832815)

Es handelt sich um die hydrodynamische Stabilität der laminaren Strömung (\(u = U(y) = \alpha + \beta y\), \(v = w = 0\)) einer zähen unzusammendrückbaren Flüssigkeit zwischen zwei ebenen parallelen Wänden (\(y = \pm b\)), die sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit \(V\) relativ zueinander in einer zu ihren Ebenen parallelen Richtung, der \(x\)-Achse, bewegen. Die Verf. beschränken sich dabei auf ebene und infinitesimale Störungen. Eine vollständige Lösung des Problems ist ihnen nicht gelungen; sie beabsichtigen vielmehr eine kritische Durchsicht der zur Verfügung stehenden Methoden. Nach einem geschichtlichen Überblick über die bisherigen Ergebnisse behandeln die Verf. zunächst eine Methode, die sich auf eine Integralgleichung stützt. Man erhält nämlich aus der Wirbelgleichung für die Störungen leicht die Beziehung \[ \frac{\partial}{\partial t} \iint \zeta^2 \, dx dy = 2\nu \iint \zeta \varDelta \zeta \, dx dy \qquad (\zeta \text{ die Wirbelgröße der Störung}). \] Diese Methode hat zwar den Vorteil, auch auf endliche Störungen anwendbar zu sein, führt jedoch nur für den schon bekannten Fall \(U \equiv 0\) zum Ziel. Auch die Vernachlässigung der Zähigkeit \((\nu = 0)\) bedeutet keine Vereinfachung des Problems. Die weiteren Abschnitte der Arbeit sind der ``method of normal coordinates'' gewidmet. Diese Methode beruht auf der Annahme, daß sich die Störungen nach gewissen einfach gestalteten Normalstörungen mit exponentialem Zeitfaktor \(e^{\lambda t}\) entwickeln lassen. Das bedingt jedoch die Beschränkung auf infinitesimale Störungen. Aus der eben gemachten Annahme folgt dann: Die Stabilität gegenüber hinreichend kleinen Störungen gilt als erwiesen, wenn jede der Normalstörungen im Lauf der Zeit verschwindet, d. h. wenn der Koeffizient \(\lambda\) für alle Normalstörungen negativ wird. Im Falle ruhender Wände (\(U = 0\)) läßt sich die Voraussetzung über die Darstellbarkeit der Störungen rechtfertigen, und die Orthogonalitätseigenschaften der Normalstörungen haben zur Folge, daß \(\lambda\) stets negativ ist. Im allgemeinen Falle sind von verschiedenen Seiten her Zweifel über die Gültigkeit der Entwickelung geäußert worden. Aus physikalischen Erwägungen heraus glauben die Verf. jedoch, die Annahme zumindest in der zweiten Form (Stabilität besteht, wenn alle \(\lambda\) negativ sind) aufrecht erhalten zu können. Die Berechnung der Zeitkoeffizienten \(\lambda\) stößt auf große Schwierigkeiten. Es ist eine Bandwertaufgabe eines Systems von zwei Differentialgleichungen vierter Ordnung mit zwei reellen unbekannten Funktionen und drei reellen unbestimmten Parametern zu lösen. Die Verf. führen die Rechnungen unter vereinfachenden Annahmen durch. Es ergeben sich in der Tat negative Werte für \(\lambda\), falls die \textit{Reynolds}sche Zahl genügend klein ist, wie es auch nach bekannten Tatsachen zu erwarten war. Die Ergebnisse ihrer Rechnungen veranschaulichen die Verf. durch graphische Darstellungen und durch Stromlinienbilder von Normalstörungen im Anfangsstadium.