Caratteristiche e bicaratteristiche delle equazioni gravitazionali di Einstein. I, II. (Q1832930)

Zur \textit{Hadamard}schen Definition charakteristischer Mannigfaltigkeiten gelangt Verf. durch Transformation der \(n + 1\) unabhängigen Variabeln eines Systems in \(m\) Unbekannten \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\ldots\), \(\varphi_m\), etwa eines solchen zweiter Ordnung \[ F_\mu\equiv \sum_{\nu=1}^m\sum_{i,k=0}^n F_{\mu\nu}^{ik} \frac{\partial^2\varphi_\nu}{\partial x_i\partial x_k} +\varPhi_\mu=0 \tag{\text{*}} \] gemäß den Relationen: \[ \begin{matrix} \dfrac{\partial\varphi_\nu}{\partial x^i}= \dfrac{\partial\varphi_\nu}{\partial z}p_i+\cdots\hfill &&(\nu\phantom{\, k} =1,\,2,\,\ldots,\, m) \\ &p_i=\dfrac{\partial z}{\partial x_i} \\ \dfrac{\partial^2\varphi_\nu}{\partial x^i\partial x^k}= \dfrac{\partial^2\varphi_\nu}{\partial z^2}p_ip_k+\cdots\hfill &&(i,\,k =0,\,1,\,\ldots,\, n) \end{matrix} . \] Setzt man \[ D_{\mu\nu}=\sum_{i,k=0}^n F_{\mu\nu}^{ik} p_ip_k \] und versteht unter \(F_{\mu\nu}^{ik}\) und \(\varPhi_\mu\) Funktionen der \(x\), so entsteht aus (*) \[ \sum_{\nu=1}^m D_{\mu\nu} \frac{\partial^2\varphi_\nu}{\partial z^2} +\cdots =0. \tag{\text{**}} \] Für \(|D_{\mu\nu}| \not\equiv 0\) handelt es sich um Normalsysteme. Jede Mannigfaltigkeit \(z = \text{const}\), auf welcher \(D\) verschwindet, heißt charakteristische Mannigfaltigkeit. Verschwindet \(D\) identisch, so hat man analog mit geeigneten Unterdeterminanten zu verfahren. Wendet man dieses Verfahren auf die \textit{Einstein}schen Gravitationsgleichungen \[ E_{ik} = E_{ki} = G_{ik}-\tfrac12 Gg_{ik} = 0 \] an, so lautet der Teil \(E_{ik}'\) von \(E_{ik}\), der die zweiten Ableitungen der \(g_{ik}\) bezüglich \(z\) enthält, \[ E_{ik}' = E_{ki}' = H \frac{\partial^2 g_{ik}}{\partial z^2} + \{p_ip_k-Hg_{ik}\} \chi - (p_i\gamma_k + p_k\gamma_i) + g_{ik}\gamma, \] wobei \(H = \frac12 \sum\limits_{i,k=0}^3 g_{ik}p^ip^k\), \(\gamma = \sum\limits_{k=0}^3 p^k\gamma_k\) und die Größen \(\chi\) und \(\gamma_k\) durch gewisse Linearaggregate der \(\dfrac{\partial^2g_{ik}}{\partial z^2}\) gegeben sind. Nun ist der Gravitationstensor divergenzfrei. Benutzt man diesen Umstand, so ergibt sich \[ \sum_{k=0}^3 p^k E_{ik}'= 0\qquad (i=0,\,1,\,2,\,3). \] Das System der Gravitationsgleichungen ist somit kein Normalsystem und kann nicht nach den zweiten Ableitungen aller \(g_{ik}\) nach einem und demselben Argument \(z\) aufgelöst werden. Die Matrix \((D)\) ist im allgemeinen vom Rang sechs. Für isotrope Vektoren verschwindet \(H\). Dann ist \((D)\) nurmehr vom Höchstrang vier. Daher sind alle Lösungen \(z\) der \textit{Hamilton-Jacobi}schen Gleichung \[ H\equiv \tfrac12 \sum_{i,k=0}^3 g^{ik}p_ip_k=0 \] und im reellen Gebiet nur diese charakteristische Mannigfaltigkeiten der \textit{Einstein}schen Gravitationsgleichungen; ihre Bicharakteristiken, definiert durch das kanonische System \[ \frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x_i}\,,\quad \frac{dx_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial p_i} \] zusammen mit der Bedingung \(H = 0\), werden mit den geodätischen Isotropen der raumzeitlichen Fundamentalform identisch. Im besonderen wendet Verf. die entwickelte Theorie noch auf das \textit{Schwarzschild}sche Bogenelement an und erwähnt den Zusammenhang seiner Ergebnisse mit einer Untersuchung von \textit{Whittaker} (Proceedings Cambridge 24 (1927), 32-34; F. d. M. 53, 942 (JFM 53.0942.*)).