Sur la probabilité de la convergence de séries. (Q1833437)

Gegeben sei eine Folge komplexer Zahlen \(\{a_n\}\). Man fragt nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty a_n e^{i \varphi_n} \] konvergent ist, wenn die reellen Argumente \(\varphi_n\) zufällig gewählt werden. Die Wahrscheinlichkeit, daß \(\varphi_n\) einer nach \textit{Lebesgue} meßbaren Menge, die in \((0, 2\pi)\) gelegen ist, angehört, wird durch das Maß dieser Menge, dividiert durch \(2\pi \), definiert, und die Wald der \(\varphi_n\) wird als voneinander unabhängig vorausgesetzt. Verf. beweist: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich Eins, wenn die Summe \(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|^2\) endlich ist, und gleich Null im entgegengesetzten Fall. (IV 16.)