Eine Anwendung der Theorie der Operationen bei der Untersuchung der Toeplitzschen Limitierungsverfahren. I. (Q1833442)

Untersucht wird die Frage, wann ein permanentes (konvergenz- und werterhaltendes) \textit{Toeplitz}sches Diagonal-Limitierungsverfahren mit jedem ebensolchen nicht schwächeren Verfahren konsistent (gleiche Werte liefernd) ist. Es sei \[ (A) = (a_{m, n}), \qquad n \leqq m, \] die Diagonalmatrix des Verfahrens \(A\), und für die Folge \(x = \{x_n\}\) wird \[ A_m(x) = \sum_{n=0}^m a_{m, n} x_n \] gesetzt. Die Hauptresultate der vorliegenden Arbeit sind: 1. \ (Satz 6): \(x\) sei eine feste \(A\)-limitierbare Folge. Damit jedes nicht schwächere permanente Limitierungsverfahren für \(x\) denselben Wert liefert wie \(A\), ist notwendig und hinreichend, daß für jede zu den Kolonnen von (\(A\)) orthogonale, absolut konvergente Reihe \(\sum\limits_{m=0}^\infty t_m\) die Gleichung \[ \sum_{m=0}^\infty t_m A_m (x) = 0 \] gilt. Diese Bedingung ist insbesondere für \textit{jede} beschränkte Folge \(x\) erfüllt. 2. \ (Satz 7): Damit dies für \textit{jede} \(A\)-limitierbare Folge gilt, ist notwendig und hinreichend, daß nur die Nullreihe (\(t_m = 0\)) zu den Kolonnen von (\(A\)) orthogonal ist. Im Speziellen erweisen sich so sowohl die \textit{Cesàro}schen als die \textit{Euler}schen Verfahren beliebiger positiver Ordnung als konsistent im Sinne der Frage.