Sur la sommation des séries entières par la méthode des moyennes. (Q1833449)

Es sei \(\sum\limits_0^\infty c_n\) eine divergente Reihe mit positiven Gliedern, \(C_n = \sum\limits_0^n c_\nu\). Es sei ferner \(\sum\limits_0^\infty a_n z^n\) eine Potenzreihe vom Konvergenzradius 1, \(s_n = \sum\limits_0^n a_\nu z^\nu\). Verf. untersucht die Möglichkeit, eine solche Reihe nach einem der folgenden beiden regulären Verfahren außerhalb des Konvergenzkreises zu summieren: \[ \sigma_n = \frac{\sum\limits_0^n c_\nu s_\nu}{C_n}, \qquad \qquad \qquad (2) \qquad \tau_n = \frac{\sum\limits_0^n c_{n-\nu} s_\nu}{C_n}. \tag{1} \] Die \textit{Cesàro}schen Summierungsverfahren fallen z. B. unter den Typ (2); sie gestatten bekanntlich nie eine Summierung der Potenzreihe außerhalb des Konvergenzkreises. Verf. beweist nun folgenden Satz: (I) \ Die Menge der außerhalb des Kreises vom Radius \(1 + \varepsilon\) gelegenen Punkte, in denen eine Potenzreihe vom Konvergenzradius 1 nach (2) summierbar ist, ist für jedes \(\varepsilon > 0\) endlich oder leer. Ferner wird bezüglich der Summierung nach dem Verfahren (1) bewiesen: (II) \ Ist \(\limsup \root\uproot 3 n\of{\dfrac{C_n}{c_n}} > 1\), so kann es Potenzreihen geben, die nach (1) in Gebieten außerhalb des Konvergenzkreises (vom Radius 1) summierbar sind. Ist \(\limsup \root\uproot 3 n\of{\dfrac{C_n}{c_n}} = 1\), so ist keine Potenzreihe auch nur an einer Stelle außerhalb des Konvergenzkreises summierbar. (IV 4.)