On some quadrature-formulae. (Q1833469)

Tschebyscheff hat für die in der Quadraturformel \[ \int_{-1}^{+1} p(x) f(x)\, dx = k \sum_{i=1}^n f(x_i) \quad \left[ k = \frac 1n \int_{-1}^{+1} p(x) \, dx \right] \] auftretenden Abszissen \(x_i\) ein Polynom angegeben, dessen Wurzeln sie sind, nämlich \[ P_n(y) = E \left\{ \exp \left( \frac 1k \int_{-1}^{+1} p(x)\, \log (y-x)\, dx \right) \right\} \] (\(E \{f(x)\}\) ist der ganze Teil von \(f(x)\)). Verf. gibt verschiedene Möglichkeiten an, \(P_n(y)\) mit Hilfe der Momente \(a_r = a_0 \overline{a}_r = \int\limits_{-1}^{+1} p(x) x^r \, dx\) explizit zu berechnen. Ist \[ P_n (y) = \sum_{i=0}^n \sigma_i y^{n-i} \quad (\sigma_0 = 1), \] so ist z. B. \[ \sigma_ i = \frac{(-1)^i n^i}{i!} \begin{vmatrix} \bar{a}_1 & \dfrac 1n & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \bar{a}_2 & \bar{a}_1 & \dfrac 2n & 0 & \dots & 0 \\ . & . & . & . & \dots & . \\ \bar{a}_i & \bar{a}_{i-1} & \bar{a}_{i-2} & \bar{a}_{i-3} & \dots & \bar{a}_{1} \end{vmatrix} . \] Ähnliche Betrachtungen werden geführt, wenn die Quadraturformel in der Gestalt \[ \int_{-1}^{+1} p(x) f (x) \, dx = k \sum_{i=1}^n f(x_i) k \sum_{i=1}^n f(y_i) \] angesetzt ist. -- Die entwickelten Formeln lassen sich dazu benutzen, das schon öfter behandelte Gleichungssystem \[ \sum_{i=1}^m (-1)^{i-1} z_i^s = a_s \qquad (s = 1, 2, \dots, m) \] zu lösen; ist \(a_s = \dfrac {(-1)^{m+1} + (-1)^s}2\), so wird \(z_r = \cos \dfrac {m-r+1}{m+1} \pi\).