L'intégration des fonctions sommables. (Q1833497)

Es sei \(f(x)\) im Intervall \(I\) meßbar und fast überall endlich. Bei beliebigem \(0< \lambda < 1\) gibt es dann eine größte Zahl \(A\), so daß die Menge \(\mathfrak M = \mathfrak M_x [f(x) < A]\) der Punkte \(x\), für die \(f(x) < A\) ist, eine mittlere Dichte \(\leqq \lambda\), d. h. ein Maß \(\leqq \lambda |I|\) hat, wo \(|I|\) die Länge des Intervalls \(I\) bezeichnet. Die Zahl \(A\) heißt untere Grenze von \(f(x)\) in \(I\) bis auf die Dichte \(\lambda\) und wird mit \(m(f, I, \lambda)\) bezeichnet. Ebenso existiert die entsprechend definierte obere Grenze \(M(f, I, \lambda)\) bis auf die Dichte \(\lambda\). Mit Hilfe dieser Begriffe wird u. a. der Satz von \textit{Denjoy} hergeleitet: jede approximativ stetige Funktion ist Limes von stetigen Funktionen. Wird wie bei der \textit{Riemann}schen Integraldefinition das Intervall \(I\) in endlich viele Teilintervalle \(I_1, \dots, I_k\) zerlegt, so lassen sich bei gegebenem \(0 < \lambda < 1\) die Summen \[ \sum_{i=1}^k m(f, I_i, \lambda) |I_i| \;\text{ und } \;\sum_{i=1}^k M(f, I_i, \lambda) |I_i| \] bilden sowie die untere Grenze \(\underline{s}(\lambda)\) und obere Grenze \(\overline{s}(\lambda)\) der ersten Summen für beliebige Zerlegungen des Intervalls \(I\) und die entsprechenden Grenzen \(\underline{S}(\lambda)\), \(\overline{S}(\lambda)\) der zweiten Summen. Stimmen diese vier Grenzwerte überein, so heißt \(f(x)\) integrierbar bis auf die Dichte \(\lambda\). Jede \textit{Lebesgue}-summierbare Funktion ist in diesem Sinne integrierbar und beide Integrationsprozesse liefern den gleichen Integralwert, der somit in diesem Fall von \(\lambda\) unabhängig ist. Weiter existieren \(s = \lim\limits_{\lambda \to 0}\underline{s}\) und \(S = \lim\limits_{\lambda\to 0} \overline{S}\). Diese Werte heißen unteres und oberes approximatives Integral. Stimmen beide überein, so heißt \(f(x)\) approximativ integrierbar. Mit Hilfe der eingeführten Begriffe werden Bedingungen für die Summierbarkeit einer Funktion hergeleitet. Am Schluß wird angegeben, wie die Verallgemeinerung auf Funktionen von mehreren Variablen zu erfolgen hat.