Untersuchungen über den Integralbegriff. (Q1833498)

Verf. sucht möglichst allgemeine Integraltheorien zu entwickeln, die die vielen einzelnen Definitionen von Integralen weitgehend umfassen. Es erweist sich als unmöglich, eine einzige allgemeine Theorie aufzustellen, die alle bekannten Integraldefinitionen in sich schließt. Das folgt schon daraus, daß häufig zwei Integrale über eine Funktion, erstreckt über dasselbe Intervall, entsprechend ihren Definitionen voneinander verschieden sind. Der Ausgangspunkt für alle Integrale ist das klassische \textit{Cauchy}sche Integral, das als Grenzwert der bekannten Fundamentalsumme \[ \sum f(\xi_i)(x_i - x_{i-1}), \] erstreckt über ein Intervall \((a, b)\), definiert ist. \(f(x)\) ist dabei für alle Werte des Intervalles \((a, b)\) definiert, abgesehen von höchstens endlich vielen Punkten. Bezeichnet man das Intervall \((x_{i-1}, x_i)\) durch \(\varDelta_i\) und seine Länge mit \(l(\varDelta_i)\) und durch \(f(\varDelta_i)\) eine mehrdeutige Intervallfunktion, die für jedes \(\varDelta_i\) alle Werte annimmt, die \(f(x)\) in \(\varDelta_i\) durchläuft, so erhält man den Ausdruck \[ \sum f(\varDelta_i) \, l(\varDelta_i) = \sum \varphi(\varDelta_i). \] Wenn sich \(\varDelta_i\) auf einen Punkt zusammenzieht, wird \(\varphi(\varDelta_i)\) unendlich klein. Dann ist nach \textit{Cauchy} der Grenzwert der Summen bei unendlich fein werdenden Zerlegungen des Integrationsintervalles \((a, b)\) das Integral \(\int\limits_a^b f(x) \, dx\). Alle neueren Integralbegriffe sind Verallgemeinerungen des \textit{Cauchy}schen, jedoch Verallgemeinerungen nach verschiedenen Gesichtspunkten. Verf. unterscheidet vier solche Verallgemeinerungen, durch die die heute bekannten Integraldefinitionen restlos erfaßt werden: 1. \ An Stelle der Intervallfunktion \(\varphi (\varDelta) = f(\varDelta) l(\varDelta)\), die bestimmten Bedingungen unterworfen ist, kann man beliebige Intervallfunktionen \(\varphi(\varDelta)\) in Betracht ziehen. 2. \ Der Integrationsbereich kann in beliebige Mengen, d. h. nicht notwendig in Intervalle, zerlegt werden. 3. \ Der Integrationsbereich braucht nicht eine Strecke der Zahlengeraden zu sein, es können aus Elementen beliebiger Natur bestehende Mengen als Bereiche zugelassen werden. 4. \ Man kann die Werte von \(\varphi(\varDelta)\) unter den Elementen eines beliebigen Vektorraumes und nicht notwendig unter den reellen Zahlen wählen.