Über Approximation im Mittel. (Q1833520)

Es sei \(M (u) \geqq 0\) eine in \(-\infty < x < + \infty\) stetige Funktion, und \(M (0) = 0\). Eine meßbare Funktion \(f (x)\) wird als ``integrierbar mit \(M (u)\)'' bezeichnet, wenn \( \int\limits_0^1 M[f(x)]\, dx\) existiert; \(f(x)\) wird durch \(h(x)\) ``mit \(M (u)\) im Mittel bis auf \(\varepsilon\) approximiert'', wenn \[ \int_0^1 M[f(x) - h(x)]\, dx < \varepsilon \] erfüllt ist. -- Es wird folgender Satz bewiesen: ``Wenn \(M (u)\) außerdem den Bedingungen genügt: I. \(M (u)\) monoton für \( u \geqq 0\), und \(M(-u) = M(u)\); II. Für ein passendes \(c\) ist \(M (2u) \leqq cM (u)\) für \(u \geqq 0\), \newline dann gibt es für jede mit \(M (u)\) integrierbare Funktion \(f (x)\): a) eine streckenweise konstante Funktion \(s (x)\), b) eine stetige Funktion \(g (x)\), welche \(f(x)\) mit \(M (u)\) im Mittel bis auf \(\varepsilon\) approximiert.'' Schließlich wird nachgewiesen, daß die Voraussetzung II nicht fortgelassen werden kann, und demgemäß eine von \textit{J. C. Burkill }(Proceedings L. M. S. (2) 28 (1928), 493-500; F. d. M. 54, 281 (JFM 54.0281.*)-282) aufgestellte Behauptung nicht richtig ist.