Sur la convergence dans les champs \(L^p\). (Q1833522)

Man betrachte die Funktionen, die in bezug auf das Intervall \((0,1)\) zur \textit{Lebesgue}schen Klasse \(L^p\) \((p > 1)\) gehören, also dort meßbar sind und ein endliches Integral des Betrages ihrer \(p\)-ten Potenz besitzen. Eine Folge \(\{f_n (t)\}\) solcher Funktionen heißt ``stark konvergent'' gegen eine Funktion \(f (t)\) derselben Klasse, wenn \[ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1|f(t)-f_n(t)|^p\,dt = 0. \] Bekanntlich besitzt eine Folge von Funktionen aus \(L^p\) mit gleichmäßig beschränkten Integralen des Betrages der \(p\)-ten Potenz nicht notwendig eine stark konvergente Teilfolge, ist also im Sinne des vorstehend erläuterten Konvergenzbegriffs nicht kompakt. Verf. zeigen aber, daß eine derartige Folge \(\{f_n\}\) wenigstens eine Teilfolge \(\{f_{n_i}\}\) besitzen muß, derart daß die Folge der arithmetischen Mittel \[ \sigma_k(t)=\frac1k\sum_{i=1}^kf_{n_i}(t) \] stark konvergiert. Wie ein Beispiel zeigt, gilt dieser Satz nicht mehr für die Klasse \(L^1\). Ein entsprechender Satz gilt im Gebiet der Zahlenfolgen \(\{\xi_i\}\), bei denen die Reihe \(\sum\limits_{i=1}^\infty|\xi_i|^p\) konvergiert \((p > 1)\), wenn man die starke Konvergenz einer Folge von Folgen \(\big\{\xi_i^{(n)}\big\}\) gegen eine Grenzfolge \(\{\xi_i\}\) durch die Gleichung \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^\infty|\xi_i^{(n)}-\xi_i|^p=0 \] erklärt.