Zwei Sätze über Fourierkoeffizienten. (Q1833533)

Verf. knüpft an zwei von \textit{Alexits} (M. Z. 27 (1927), 65-67; F. d. M. 53, 263 (JFM 53.0263.*)) bewiesene Sätze an, welche aus dem infinitären Verhalten der \textit{Fourier}koeffizienten einer Funktion gewisse Bückschlüsse auf das Verhalten der Funktion selbst gestatten. Der erste Satz von \textit{Alexits} wird durch zwei weitergehende und einfach bewiesene Aussagen ersetzt, während der zweite Satz folgende, wesentliche Verschärfung erfährt: Ist \(\dfrac{\alpha_0}2+\sum\limits_{k=1}^\infty(\alpha_k\,\cos kx+\beta_k\,\sin kx)\) die \textit{Fourier}reihe einer \textit{Lebesgue}-integrierbaren Funktion, so folgt aus \(k\beta_k\to\beta\): \[ \lim_{k\to+0}\frac1h\int\limits_0^h\big(f(+t)-f(-t)\big)\,dt=\pi\beta; \] gilt überdies \(k\alpha_k\to\alpha\), so ist für alle \(x\not\equiv0\) (\(2\pi\)) \[ \lim_{h\to+0}\frac1h\int\limits_0^h\big(f(x+t)-f(x-t)\big)\,dt=0. \] Verf. gibt noch weitere Verallgemeinerungen des obigen Satzes an.