On the partial sums of Fourier series. (Q1833546)

\(f(\vartheta)\) gehöre in \(\langle0,2\pi\rangle\) zur \textit{Lebesgue}schen Klasse \(L^p\), \(p > 1\). \(s_n(\vartheta)\) bzw. \(\overline{s}_n(\vartheta)\) bezeichnen den \(n\)-ten Abschnitt der \textit{Fourier}schen Reihe von \(f\) bzw. ihrer konjugierten Reihe. Bewiesen wird: Wenn für \(n\geqq0\) \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill s_n(\vartheta)\geqq-\varPhi^*(\vartheta),\quad\varPhi^*\text{ aus }L^p, \hfill} \] gilt, so gibt es eine Funktion \(\psi(\vartheta)\) aus \(L^p\) mit \[ \displaylines{\rlap{\indent(2)}\hfill s_n(\vartheta)\leqq\psi(\vartheta);\quad|\overline{s}_n(\vartheta)|\leqq\psi(\vartheta). \hfill} \] Für \(p = 1\) gibt es ein solches \(\psi\) aus \(L^{1-\varepsilon}\), \(\varepsilon>0\).