Sur l'application de la méthode de Tchebycheff à une classe de problèmes de M. Fejér. (Q1833547)

Verf. geht von folgendem Problem -- im Anschluß an \textit{Fejér} (1916; F. d. M. 45, 406 (JFM 45.0406.*)) -- aus: Es sei eine Folge nichtnegativer Polynome \[ S_n(\theta)=a_0+a_1\cos\theta+b_1\sin\theta+\cdots+a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta \] vorgelegt; es sei \[ \sum_1^n(A_ka_k+B_kb_k)=1 \] (die \(A_k\), \(B_k\) sind gegebene Konstanten); man soll das Minimum von \(a_0\) bestimmen. Er beweist, daß es unter den die Lösung gebenden \(S_n(\theta)\) solche gibt, die nur reelle Doppelwurzeln besitzen und demzufolge eine Darstellung durch \(n\) Parameter zulassen. (\textit{Fejér} findet eine Darstellung durch \(2n\) Parameter.) Er benutzt diese Darstellung zur Lösung gewisser, z. T. bekannter Extremalprobleme (vgl. \textit{Fejér} l. c.; \textit{Egervary} und \textit{Szász}, 1928; F. d. M. 54, 314 (JFM 54.0314.*)); neu ist die Bestimmung des Minimums von \(a_0\), wenn die Werte einer höheren als der ersten Ableitung an einem Punkte vorgegeben sind. Die Gedankengänge werden verallgemeinert: Ist \(S_n(\theta)\) den Bedingungen \[ \int\limits_0^{2\pi}S_n(\theta)F_1(\theta)\,d\theta=A_1,\quad \int\limits_0^{2\pi}S_n(\theta)F_2(\theta)\,d\theta=A_2 \] unterworfen, so läßt sich das Minimum von \(\int\limits_0^{2\pi}S_n(\theta)\varphi(\theta)\,d\theta\) durch eine Summe mit nur reellen Doppelwurzeln gewinnen (\(A_1\), \(A_2\), \(F_1(\theta)\), \(F_2(\theta)\), \(\varphi(\theta)\) sind gegeben). Damit läßt sich das Problem lösen, das Minimum von \(a_0\) zu bestimmen, wenn \(S_n (\theta)\) an zwei Stellen gegeben ist.