On the sign of sections of some series. (Q1833548)

Es werden Sätze über das Vorzeichen und über andere Eigenschaften der Abschnitte gewisser Reihen bewiesen, die sich linear aus trigonometrischen Funktionen oder aus \textit{Legendre}schen Polynomen oder aus \textit{Bessel}schen Funktionen zusammensetzen; z. B. wird gezeigt, daß \[ U(n,\theta)=\sum_{k=1}^n\frac1{(2k-1)}\sin(2k-1)\theta \] für \(0 < \theta < \pi\) stets positiv ist, in \(\theta =\dfrac{k\pi}{2n}\) \((1 \leqq k \leqq 2n - 1)\) für ungerades \(k\) relative Maxima und für gerades \(k\) relative Minima besitzt, diese Maxima in \(\left\langle0,\dfrac\pi2\right\rangle\) monoton ab- und in \(\left\langle\dfrac\pi2,\pi\right\rangle\) monoton zunehmen, sowie daß \[ \lim_{n\to\infty}U\left(n,\frac\pi{2n}\right)= \frac12\int\limits_0^\pi\frac{\sin t}t\,dt \] ist. Weiter werden Sätze über das Vorzeichen von Ausdrücken \[ \sum_{k=1}^l\sum_{m+n=k}\cos^m\gamma\,\sin^n\gamma\, P_{mn}(x,y) \] genannt, wo \(P_{mn} (x, y)\) bestimmt gegebene Polynome in zwei Veränderlichen sind.