Über einige Eigenschaften der lakunären trigonometrischen Reihen. (Q1833549)

Mit der Methode der ``linearen Funktionale'' werden zwei Sätze über Orthogonalsysteme bewiesen. Der erste sei hier formuliert: Voraussetzungen: (1) Die Funktionen \(\alpha_n(t)\) seien in \(\langle0,1\rangle\) meßbar, beschränkt und bilden dort ein normiertes Orthogonalsystem. (2) \((k_n)\) sei eine beliebige monotone Folge natürlicher Zahlen. (3) Ist \(z (t)\) integrierbar, so gibt es Zahlen \(c_n^{(m)}\) \((n < m)\), so daß mit \(z_m(t)=\sum\limits_{n=1}^mc_n^{(m)}\alpha_n(t)\) gilt: \[ \displaylines{\rlap{\indent a)}\hfill \lim_{m\to\infty}\int\limits_0^1|z_m(t) - z(t)|\,dt = 0. \hfill} \] b) Aus \(\int\limits_0^1z(t)\alpha_n(t)\,dt=0\) folgt \(c_n^{(m)}=0\) für \(m\geqq n\). Behauptung: Die folgenden drei Eigenschaften sind äquivalent: A: Es gibt ein \(K\), so daß für jede Folge \((c_n)\) \[ \left(\sum_{n=1}^mc_n^2\right)^{\frac12}\leqq K\int\limits_0^1\left|\sum_{n=1}^mc_n\alpha_{k_n}(t)\right|\,dt\qquad(m\geqq1) \] gilt. B: Wenn \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n\alpha_{k_n}(t)\) eine ``\textit{Fourier}''-entwicklung ist, so konvergiert \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2\). C: Wenn die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2\) konvergiert, so gibt es eine stetige Funktion \(x (t)\) mit \[ c_n=\int\limits_0^1x(t)\alpha_{k_n}(t)\,dt\qquad(n\geqq1). \] Als Anwendung dieses Satzes auf das trigonometrische Orthogonalsystem gibt Verf. die folgende Eigenschaft trigonometrischer ``Lücken''-reihen. Es sei \[ \displaylines{\rlap{\indent(\text{*})}\hfill \frac{k_{n+1}}{k_n}>k>1,\quad n\geqq1 \hfill} \] und \(\dfrac{a_0}2+\sum\limits_{n=0}^\infty(a_n\cos k_nt + b_n\sin k_nt)\) eine \textit{Fourier}reihe. Dann gibt es eine stetige Funktion \(x(t)\) mit \[ \displaylines{\rlap{\indent(\text{**})}\hfill a_n=\frac1\pi\int\limits_0^{2\pi}x(t)\cos k_n(t)\,dt,\qquad b_n=\frac1\pi\int\limits_0^{2\pi}x(t)\sin k_n(t)\,dt, \hfill} \] Ein zweiter allgemeiner Satz über Orthogonalsysteme enthält analog: \((a_n)\) und \((b_n)\) seien beliebige Nullfolgen. Unter der Voraussetzung (*) gibt es eine integrierbare Funktion \(x(t)\) mit (**).