The Bernstein approximation polynomials in the complex plane. (Q1833602)

\(f (x)\) sei in \(0 \leqq x \leqq1\) stetig; dann weiß man, daß \[ P_n(x) = \sum_{i=0}^n f\left(\frac in\right) \binom ni x^i(1-x)^{n-i} \] gleichmäßig gegen \(f (x)\) geht. Verf. betrachtet die Konvergenz im Komplexen im Falle \(f(z) = \dfrac1{z-a}\). Der Beweis stützt sich auf die Darstellung \[ P_n(z) = n \int\limits_0^1 (1 - v)^{-na-1} (1-vz)^n \,dv\qquad (\Re a<0) \] und eine Behandlung des Integrals nach der Methode der Sattelpunkte und liefert, daß innerhalb der äußeren Schleife der Kurve \[ \left|\left(\frac sa\right)^a \left(\frac{1-s}{1-a}\right)^{1-a}\right| =1 \] \(P_n(z)\) gleichmäßig gegen \(\dfrac1{z-a}\) konvergiert. Auf der Schleife hat \(P_n(z)\) die Gestalt \[ \frac1{z-a} +\sum_{t=1}^r \frac{C_t}{n^t} +O\left(\frac1{n^{r+1}} \right); \] außerhalb der Kurve ist \[ | P_n(z) |\sim AK^n \sqrt n \quad (K>1), \] sodaß \(P_n(z)\to\infty\), wenn \(n \to\infty\). (IV 6 A.)