Les familles de fonctions entières normales par rapport à un type de croissance. (Q1833609)

Bereits in früheren Arbeiten hat Verf. eine beachtenswerte Analogie zwischen Familien von in einem Gebiete holomorphen und solchen von ganzen Funktionen entdeckt. Diese Analogie führte ihn im Zusammenhang mit der Theorie der normalen Familien von holomorphen Funktionen zur Konstruktion der normalen Familien von ganzen Funktionen. Die Analogie basiert darauf, daß jeder Funktion eine positive Zahl, die Norm, zugeordnet wird. Diese ist bei in einem Gebiete holomorphen Funktionen das Maximum des absoluten Betrages in diesem Gebiete; bei ganzen Funktionen jedoch die obere Grenze des Verhältnisses des Maximums des absoluten Betrages im Kreise mit dem Radius \(r\) zu einer gegebenen Funktion \(t (r)\), die der Wachstumstypus heißt. Der Wachstumstypus ist eine positive, monoton stärker als jede Potenz wachsende Funktion der reellen Variablen \(r\). Eine beliebige komplexe Funktion \(\varPhi(x)\) heißt zum Wachstumstypus \(t (r)\) gehörig, wenn der Quotient \(\dfrac{|\varPhi(x)|}{t(|x|)}\) für alle Werte von \(x\) beschränkt ist. Eine Familie von ganzen Funktionen wird dann als normal in bezug auf \(t (r)\) bezeichnet, wenn bei beliebigem \(s > 1\) jede Funktion der Familie zu \(t (sr)\) gehört und aus jeder unendlichen Funktionenfolge der Familie eine Teilfolge ausgewählt werden kann, die gegen eine ganze Funktion oder gegen \(\infty\) ``gleichmäßig in bezug auf \(t(sr)\)'' konvergiert. Die Kriterien und Eigenschaften dieser normalen Familien, die der Verf. entwickelt, weisen bedeutsame Analogien zu den normalen Familien holomorpher Funktionen auf; so lautet das Analogon zu dem Satz von \textit{Vitali} und \textit{Porter}: Wenn eine Folge von ganzen Funktionen, die zu einer normalen Familie gehört, in unendlich vielen Punkten \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\) \(x_n\), \(\ldots\) der Ebene, die einen Häufungspunkt im Endlichen haben, konvergiert, so konvergiert sie in jedem Punkt der Ebene. Der gleiche Satz gilt auch, wenn die Punkte \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_n\), \(\ldots\) in gewisser Weise gegen \(\infty\) konvergieren.