Sur certaines fonctions holomorphes et bornées dans un cercle. (Q1833622)

Verf. bewies zuerst in seiner Dissertation (F. d. M. 50 (1924), 211): Ist \(f(z)\) in \(| z | \leqq 1\) regulär, \(| f (z) | \leqq1\) für \(|z|\leqq1\) und \(| f(z)|\leqq m < 1\) auf einer \textit{Jordan}schen Kurve, die \(z = 0\) mit \(z = 1\) verbindet, so ist in \(| z|\leqq\frac12\) \[ |f(z)|\leqq m^k, \tag{1} \] wobei \(k\) eine absolute Konstante bedeutet. Später bewies er: Unter denselben Voraussetzungen gibt es eine absolute Konstante \(k'\), derart, daß in \(|z|\leqq 1\) \[ |f(z)| \leqq m^{k'(1-|z|)}. \tag{2} \] Nun wird folgender Satz bewiesen, der (1) und (2) enthält: Sei \(f(z)\) in \(| z| \leqq 1\) regulär, \(|f(z) | \leqq1\) für \(| z | \leqq 1\). \(\varDelta_\varrho\) sei die Punktmenge von \(| z|\leqq \varrho\), in der \(\log | f(z) | \leqq-\mu\) ist. Unter der Annahme, daß für jedes System von kleinen Kreisen \(k\) mit Radien \(\sigma\), das \(\varDelta_\varrho\) überdeckt, \(\sum\sigma>\dfrac{2e}h\) ist, gilt: \[ \log|f(z)|\leqq -\frac{k''\mu(1-\varrho)(1-|z|)}{\log h}\,. \] Es sei hier bemerkt, daß (2) zur gleichen Zeit auch von \textit{Landau} (Nachrichten Göttingen 1930, 1-9; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 270) vertieft wurde, und schließlich, daß auch die Frage nach dem Minimum der Konstanten \(k'\) in (2) durch \textit{Erhard Schmidt} (Sitzungsberichte Akad. Berlin 1932, 394-401; F. d. M. 58) vollständig beantwortet worden ist. Letzterer hat gezeigt, daß das genaue Minimum von \(k'\) gleich \(\dfrac1\pi\) ist, sodaß (2) für jedes \(k' \geqq\dfrac1\pi\) gilt.