The constants of Landau and Lebesgue. (Q1833624)

Zwischen den \textit{Landau}schen Konstanten \(G_n\) und den \textit{Lebesgue}schen Konstanten \(\varrho_n\) besteht zunächst die Ungleichung \[ G_n\leqq\varrho_{\frac12n}, \] wie leicht aus den \textit{Cauchy}schen Koeffizientenformeln folgt. Mittels einer \textit{Szegö}schen Reihendarstellung für \(\varrho_n\) (M. Z. 9 (1921), 163-166; F. d. M. 48, 307 (JFM 48.0307.*)) wird ferner die Ungleichung \[ (2n+2)^2\left(\varrho_{\frac12(n+1)}-\varrho_{\frac12n}\right) -(2n+1)^2\left(\varrho_{\frac12n}-\varrho_{\frac12(n-1)}\right) >0 \] gewonnen. Aus ihr folgt leicht die interessante Ungleichung \[ 1\leqq\frac{\varrho_{\frac12n}}{G_n} < \frac{\varrho_{\frac12(n+1)}}{G_{n+1}} <\frac4\pi\,. \] Vorher werden noch aus der genannten \textit{Szegö}schen Reihe bzw. aus einer von \textit{Ramanujan} stammenden Reihe für \(G_n\) asymptotische Darstellungen für \(\varrho_{\frac12n}\) und \(G_n\) hergeleitet.