Sur la limite supérieure du produit canonique d'ordre infini. (Q1833631)

Ist \(\varphi(r)\) eine für \(r \geqq 0\) definierte differenzierbare Funktion von \(r\) und \[ \begin{aligned} &\nu_0=\frac{r\varphi'}\varphi\,,\quad \nu_n =\frac{\nu_{n-1}'\cdot r} {\nu_{n-1}}\,, \\ &\nu_0^*=\frac{1}{\nu_0}\,,\quad\;\nu_n^* =\frac{\nu_{n-1}^*} {r\nu_{n-1}^{*\prime}}\qquad (n\;\text{ganz} > 1) \end{aligned} \] gesetzt, so nenne man sie regulär, falls \(\lim\limits_{r\to\infty} \nu_n (r)\) oder \(\lim\limits_{r\to\infty} \nu_n^*(r)\) für ein \(n\) existiert und eine endliche von Null verschiedene Zahl ist, während \(\nu_k (r)\) bzw. \(\nu_k^* (r)\) für \(k<n\) gegen Unendlich strebt. Für solche Funktionen gilt nun, wie Verf. in einer früheren Arbeit gezeigt hat (F. d. M. 54 (1928), 340), \[ \varphi\left(r+\frac\varphi{2\varphi'}\right) < (2+\varepsilon) \varphi(r) \] von einem gewissen \(r\) ab ausnahmslos. Sei jetzt ein kanonisches Produkt von unendlicher Ordnung \[ F(z) =\prod_{ n=1}^\infty\left(1-\frac z{a_n}\right) e^{\textstyle\frac z{a_n} +\frac12\left(\frac z{a_n}\right)^2 +\cdots+ \frac1{P_n}\left(\frac z{a_n}\right)^{P_n}} \tag{1} \] mit \(| a_1 | \leqq |a_2| \leqq\cdots\) gegeben. Man wähle eine solche reguläre Funktion \(\varphi (r)\), welche für ganzzahlige \(n\) die Ungleichung \[ \frac{\log n}{\log|a_n|}\leqq \varphi(\log a_n) \] erfüllen möge. Dann kann man zeigen, daß für (1) folgende Abschätzung besteht: \[ |F(z)|< e^{\alpha\varphi(\log r)}, \] wobei \(\alpha\) eine Konstante \(< 10\) ist.