Über die schlichten Bereiche in der Theorie der Funktionen von zwei Veränderlichen. (Q1833672)

Verf. bezieht sich auf eine Klasseneinteilung der Bereiche im offenen Raume zweier komplexer Veränderlichen [Math. Z. 29, 641--677 (1929; JFM 55.0786.01); Math. Ann. 102, 430--446 (1929; JFM 55.0786.02)]. Die erste Invariante der Klasse eines Bereiches \(\mathfrak B\) ist \[ \varLambda_{00}=\text{Min} \iiiint\limits_{\mathfrak B} |f(w,z)|^2\,d\omega; \] \(d\omega\) ist das vierdimensionale Volumenelement. Zur Konkurrenz sind zugelassen alle in \(\mathfrak B\) regulären und quadratintegrierbaren Funktionen \(f(w,z)\) mit dem Werte \(1\) im Koordinatenanfangspunkt (der als innerer Punkt von \(\mathfrak B\) vorausgesetzt wird). \(\varLambda_{00}\) ist das Analogon zur Invariante \[ \varLambda_0=\text{Min}\iint\limits_{\mathfrak B}|f'(z)|^2\,d\omega \] bei den konformen Abbildungen auf der \(z\)-Ebene. Verf. gibt nun bei gegebenem \(\varLambda_{00}\) Eigenschaften der zugehörigen schlichten Bereiche an. Es handelt sich um Analoga zum Koebeschen Satze, der besagt, daß jeder Berandungspunkt eines schlichten Bereiches \(\mathfrak B\) mindestens um \(\dfrac14\sqrt{\dfrac{\varLambda_0}{\pi}}\) vom Bezugspunkt (Nullpunkt) entfernt ist. (IV 4.)