On generating functions. (Q1833674)

Verf. untersucht die Zusammenhänge zwischen der erzeugenden Funktion, der Differentialgleichung, den Rekursionsformeln und der Orthogonalitätsrelation von Funktionen, die analog den Kugel- und verwandten Funktionen gebildet sind. Wenn die erzeugende Funktion \[ F(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} L_n(x)t^n\qquad (|t|\leqq k) \] ist und \(F\) eine lineare partielle Differentialgleichung \(\nu\)-ter Ordnung für \(t\) erfüllt, so genügen die \(L_n(x)\) Rekursionsformeln von der Art \[ \sum_{r=0}^{k+\nu} L_{\nu+r}(\alpha_r n^{\nu}+\beta_r n^{\nu-1}+\cdots+ \varkappa_r)=0, \] wo \(\alpha_r, \beta_r,\ldots, \varkappa_r\) Funktionen von \(r\), \(x\) sind und \(n\), \(k\) durch den Grad der Polynome festgelegt sind, die die Koeffizienten der Differentialgleichung sind. Analog wird die Differentialgleichung bestimmt, wenn die erzeugende Funktion und die Rekursionsformeln gegeben sind. Die Betrachtungen werden auf Differentialgleichungen mit Ableitungen nach \(x\) und \(t\) ausgedehnt. Es folgen noch Betrachtungen über die Zusammenhänge zwischen erzeugender Funktion und der Orthogonalitätsrelation. Zum Schluß erfolgt die Anwendung auf die \textit{Legendre}schen Polynome. (IV 3 D.)